مجموعات الأعداد
هي مجموعات أعداد نستخدمها لوصف أرقام لها خصائص.
- مجموعة الأعداد الطبيعية: هي مجموعة الأعداد الأساسية من 1 الى 9، وعليها تتم جميع العمليات الرياضية ونشتق جميع الأرقام وقد ساهمت في تمثيل وترميز المحتوى العددي الرياضي، وقد ساهم العديد من العلماء الكبار في دراسة وتقديم الصور الكاملة حول مفهوم الأعداد الطبيعية بالصورة التي ندرسها.
- مجموعة الأعداد النسبية: هي مجموعة الأعداد التي يمكن أن نقوم بكتابتها على صورة كسر (بسط على مقام)، بحيث تكون النتيجة العشرية للعدد النسبي منتهية.
- مجموعة الأعداد غير نسبية: قال عنها بعض العلماء أنها الأعداد الصماء لأنها غير منتهية وغير دورية بسبب عدم وجود نموذج يقوم بتمثيلها.
- مجموعة الأعداد الصحيحة: وهي مجموعة الأعداد التي تشمل الأعداد الموجبة والسالبة، وهي أعداد تكون على صورة كاملة أي ليست غير أعداد نسبية ولا أعداد عشرية غير منتهية.
- مجموعة الأعداد الأولية: هي مجموعة الأعداد التي لا تقبل القسمة على نفسها وعلى (1) ويجب أن تكون أكبر من (1).
بناء على ما تقدم: تقسم الأعداد الحقيقة الى مجموعتين هما: مجموعة الأعداد النسبية ومجموعة الأعداد غير النسبية، كما تقسم مجموعة الأعداد النسبية الى قسمين هما مجموعة الأعداد الصحيحة ومجموعة الأعداد الطبيعية، وتقسم مجموعة الأعداد الصحيحة الى قسمين هما مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة ومجموعة الأعداد الصحيحة السالبة.
ما هو العدد النسبي
الأعداد النسبية: هي الأعداد التي يمكن كتابتها على شكل كسر عادي، حيث يكون البسط والمقام عددين صحيحين، ويكون المقام غير صفراً، وتكون الصيغة العشرية لهذه الأرقام منتهية أو دورية.
أمثلة على الأعداد النسبية
- 1/2
- 3/4
- -5/7
- 10
- 0.5 (يمكن كتابتها على شكل 1/2)
- 0.25 (يمكن كتابتها على شكل 1/4)
خصائص الأعداد النسبية
- يمكن جمعها وطرحها و ضربها وقسمتها على بعضها البعض.
- يمكن مقارنتها مع بعضها البعض.
- يمكن ترتيبها في تسلسل تصاعدي أو تنازلي.
- تشمل جميع الأعداد الصحيحة والأعداد الكسرية والأعداد العشرية المنتهية أو المتكررة.
ما هي الأعداد غير النسبية
الأعداد غير نسبية: هي الأعداد التي لا يمكن كتابتها على صورة بسط على مقام، وتشتمل على الأعداد العشرية غير المنتهية والمربعات غير الكاملة، فيما تشتمل الأعداد النسبية على الأعداد التي يمكن كتابتها على صورة بسط على مقام والأعداد العشرية المنتهية والدورية.
تتبع الأعداد النسبية للأعداد الحقيقية بحيث أن الأعداد الحقيقية تشمل الأعاد النسبية والأعداد غير النسبية.
ملاحظة:
- لا يمكن جمع أو طرح أو ضرب أو قسمة الأعداد النسبية على الأعداد غير النسبية.
- لا يمكن مقارنة الأعداد النسبية مع الأعداد غير النسبية.
أشهر الأمثلة على الأعداد غير النسبية
- هـ (العدد النيبيري): 2.7182818284590452353602874713527، وهو كسر عشري غير منتهي.
- π (باي): 3.1415926535897932384626433832795، و هو أيضاً كسر عشري غير منتهي.
- √2 بعض الجذور التربيعية والتكعيبية للمربعات أو المكعبات الغير كاملة، بحيث يكون ناتجها كسر عشري غير منتهي.
الصيغة العامة للعدد النسبي
يكتب العدد النسبي على صورة بسط ومقام، ويشترط عدم وجود عامل مشترك سوى (1) بين البسط والمقام، ن = أ / ب.
أشكال كتابة الأعداد النسبية
- الأعداد الصحيحة: فعلى سبيل المثال العدد 12 يمكن كتابته على صورة بسط على مقام من خلال وضع المقام (1) [12/1] فيصبح عدداً نسبياً، وكذلك العدد -34 يمكن كتابته على صورة بسط على مقام من خلال وضع المقام (1) [ -34/1 ] فيصبح عدداً نسبياً.
- الكسور العشرية: فعلى سبيل المثال العدد 0.06، وهو ستة من مئة ويمكن كتابته على صورة بسط على مقام من خلال وضع البسط (6) والمقام (100) فيصبح العدد [6/100].
- الأعداد الكسرية: فعلى سبيل المثال اثنان صحيح و(4/7) وهو اثنان صحيح وأربعة من عشرة، ويمكن كتابته على صورة بسط على مقام من خلال ضرب العدد الصحيح وهو (2) في المقام الذي هو (7) وإضافة ناتج الضرب الى البسط الذي هو (4) فيصبح الناتج (18)، بحيث يتم وضع الناتج في البسط مع بقاء المقام ثابتاً، ليصبح لدينا عدد نسبي على صورة (أ/ب) وهو (18/7).
ما هي العمليات المتاح تطبيقها على الأعداد النسبية؟
يمكن تطبيق العمليات الرياضية الأساسية على الأعداد النسبية اذ يمكن استخدام الجمع والطرح والقسمة والضرب.
- عملية الجمع: يكون ناتج عملية جمع كل عدديين نسبيين عدداً نسبياً، لإتمام عملية جمع الأعداد النسبية، بحيث يجب توحيد المقامات ويعتبر شرط أساسي لإتمام العملية.
- عملية الطرح: يكون ناتج عملية طرح كل عدديين نسبيين عدداً نسبياً، لإتمام عملية جمع الأعداد النسبية، بحيث يجب توحيد المقامات ويعتبر شرط أساسي لإتمام العملية.
- عملية الضرب: يكون ناتج عملية ضرب كل عدديين نسبيين عدداً نسبياً، ولا يشترط لإتمام عملية ضرب الأعداد النسبية توحيد المقامات ولا يعتبر شرطاً لإتمام العملية، حيث يتم ضرب العددان بشكل مباشر.
- عملية القسمة: يكون ناتج عملية قسمة كل عدديين نسبيين عدداً نسبياً، لإتمام عملية قسمة الأعداد النسبية، بحيث يجب تحويل عملية القسمة الى ضرب مع ترك العدد الأول كما هو والقيام بأخذ مقلوب العدد الثاني.
ما هي خصائص الأعداد النسبية
من خصائص الأعداد النسبية؛ الخاصية التبديلية وخاصية الدمج والخاصية التوزيعية وخاصية العنصر المحايد والخاصية العكسية (المعكوس).
- الخاصية التبديلية: بحيث أن [أ + ب = ب + أ] و [أ * ب = ب * أ]؛ أي أن هذه الخاصية تشمل عمليتي الجمع والضرب على الأعداد النسبية.
- الخاصية التجميعية: بحيث أن [أ + (ب + جـ)] = [(أ + ب) + جـ] و[أ * (ب * جـ)] = [(أ * ب) * جـ ]؛ أي أن هذه الخاصية تشمل عمليتي الجمع والضرب على الأعداد النسبية.
- الخاصية التوزيعية: بحيث أن [أ × (ب + جـ)] = [(أ × ب) + (أ × جـ)]؛ بحيث أن هذه الخاصية يمكن تطبيقها على عملية الضرب فقط.
- خاصية العنصر المحايد: يعد الصفر عنصراً محايداً جمعياً؛ بحيث أنه عند إضافة أي عدد نسبي الى الصفر يكون الناتج هو العدد نفسه، والعدد (1) عنصراً محايداً ضربياً، بحيث أنه عند ضرب أي عدد نسبي مع (1) يكون الناتج هو العدد نفسه.
- الخاصية العكسية (المعكوس): بحيث أن المعكوس الجمعي للعدد [أ/ب هو -أ/ب]؛ أي أنه يتم إيجاد المعكوس الجمعي عن طريق عكس اشارة العدد، و المعكوس الضربي للعدد [ أ/ب هو /أ ]; أي أنه يتم ايجاد المعكوس الضربي عن طريق قلب العدد بحيث يصبح المقام بسطاُ والبسط مقاماُ.
هل الصفر عدد نسبي
من المعروف أن الصفر لا يجوز أن يكون في مقام الأعداد النسبية، ولكنه يمكن أن يكون في البسط، لذلك يمكن كتابة الصفر على صورة بسط ومقام بعدد لا نهائي من الأشكال.
هل العدد السالب عدد نسبي
يمكن أن يكون العدد النسبي سالباً اذا توافرت فيه الشروط التالية:
- أن نتمكن من كتابته على صورة بسط على مقام.
- أن تكون إشارة البسط والمقام مختلفتان، بحيث تكون احداهما سالبة والأخرى موجبة.
- أن تكون قيمة العدد أقل من صفر، <0 .
- أن لا يكون مقامه صفراً.
أشهر العلماء الذين درسوا العدد النسبي
- ارخميدس.
باختصار العدد النسبي هو أي عدد يمكن كتابته على شكل كسر a/b حيث:
- a و b عددان صحيحان.
- b لا يساوي صفرًا.
