ما هي المتتابعات؟

مفهوم المتتابعات:

المتتابعات: هي عبارة عن دالة مجالها مجموعة جزئية من (ط) الأعداد الطبيعية، ومداها مجموعة جزئية من (ح) الأعداد الحقيقية، وهي مجموعة من الأعداد تتبع نمط معين وترتيب كل عدد يسمّى رقم الحد، تقسم المتتابعة (المتتالية)، إلى قسمين: متتابعة حسابية، ومتتابعة هندسية.

أقسام المتتابعات:

1- المتتابعة الحسابية:

المتتابعة الحسابية: هي عبارة عن متتابعة منتهية أو غير منتهية، حيث يكون هناك عدد ثابت بحيث يكون طرح الحد اللاحق من الحد السابق فيها يساوي هذا المقدار الثابت، أي أنّ العدد اللاحق – العدد السابق = العدد الثابت، القاعدة الثابتة للمتتالية الحسابية هي:

ح ن= ح1 + (ن-1) × د،
حيث ن: هو العدد الذي يعبر عن ترتيب الحد المراد إيجاد قيمته
(ح ن): قيمة ذلك الحد، ويمكن من خلال هذه القاعدة إيجاد قيمة أي عدد فيها.

ويمكن توضيح ذلك من خلال المثال الآتي، جد قاعدة المتتالية الآتية: 1، 4، 7، 10، 13، 16، 19، 22، 25؟

استخدام القاعدة العامة: ح ن= ح1 + (ن-1) × د، ينتج أنّ: الفرق بين كل حدين متتاليين في هذه المتتالية هو: د= 3، أمّا الحد الأول فيها فهو 1.
الحل: عليه تكون قاعدتها: ح ن= 1+(ن-1)×3 = 3×ن-2.

يمكن كذلك إيجاد مجموع حدود المتتاليات الحسابية حتى حد معين فيها (ن) من خلال استخدام القانون الآتي:

مجموع حدود المتاليات = (ن/2) × (2 × ح1 + (ن-1) × د).

مثلاً احسب مجموع أول أربعة حدود في المتتالية السابقة: (1، 4، 7، 10، 13، 16، 19، 22، 25،)؟

الحل: مجموع أول أربعة حدود (ن =4)= (4/2) × (2×1+(4-1) × 3) = 2 × (11) = 22، وهو يعادل مجموع الحدود الأربعة فيها: 1 + 4 + 7 + 10 = 22.

2- المتتابعة الهندسية:

المتتابعة الهندسية: هي التي تكون عبارة عن قيمة ثابتة، بين حدين متتاليين، ويتكون بالتالي عنهما نسبة والنسبة هي الأساس في المتتابعة الهندسية، إذا كانت المتتابعة موجبة تكون المتتابعة متحدة الإشارة، أمّا في حال كانت النتيجة للمتتابعة سالبة الإشارة تكون المتتابعة الهندسية متغيرة الإشارات، أي أنّ العدد اللاحق ÷ العدد السابق = العدد الثابت.

سمّيت المتتابعة الهندسية بهذا الاسم لإنها عبارة عن مجموعة أعداد متتالية، يتم الحصول على الحد الخاص بها وكل حد من حدودها بعد الحد الأول يتم من خلال ضرب العدد الذى يسبقه في رقم ثابت، هذا الرقم يسّمى بقدر النسبة، وما بعده متوسطا هندسياً، ويقصد بالمتوسط الهندسي هو الجذر التربيعي لحاصل ضرب رقمين، ففي المتتابعة الهندسية (3، 6، 12، 24)، يشكل الرقم 6 متوسط هندسي، أي أنّه الجذر التربيعي لـ(3*12)، وكذلك الرقم 12 هو متوسط هندسي، أي الجذر التربيعي لـ(6*24).
 

يمكن إيجاد القاعدة العامة لكل متتابعة من المتتابعات الهندسية من خلال القانون الآتي:

ح ن= أ × ر (ن-1)،
حيث أ: هو عبارة عن الحد الأول في المتتابعة الهندسية، ويعرف بأساس المتتابعة،
ر: هو النسبة الثابتة للمتتابعة الهندسية، ويمكن إيجاده من خلال قسمة أي حدين متتاليين من حدود المتتابعة الهندسية على بعضهما.

يمكن توضيح ذلك من خلال المثال الآتي: ما هي قاعدة المتتابعة الهندسية الآتية: 5، 10، 20، 40؟

الحل: ح ن = أ × ر (ن-1)،
الحد الأول في المتتابعة (أ) هو: أ= 5، النسبة بين كل حدين متتاليين
(ر) هي: ر= 10/5 = 20/10 = 40/20 = 2،
وبالتالي فإنّ قاعدة هذه المتتابعة هي: ح ن = 5 × 2 ( ن-1).

يمكن إيجاد مجموع المتتابعات الهندسية حتى حد معين فيها (ن) من خلال اتباع القواعد الآتية:

إذا كانت ر<1 فإنّ: المجموع = أ×(1-رن)/(1-ر).
إذا كانت ر>1 فإنّ: المجموع = أ×(رن-1)/(ر-1)

ما هي متتابعة فيوناتشي؟

متتالية فيوناتشي: هي عبارة عن نوع خاص من أنواع المتتابعات يكون كل عدد في هذه المتتابعة مساوٍ في قيمته لمجموع العددين الذين يسبقانه، مثال على ذلك في المتتالية التالية: (0، 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34)، يعتبرالعدد 2 يساوي مجموع العددين الذين يسبقانه: 1+1، وهكذا لبقية الأرقام فيها.

خصائص متتابعة فيوناتشي:

• إنّ متتالية فيبوناتشي تنسب إلى ليوناردو فيبوناتشي، وهي الأعداد التي توجد في المتتالية لمتتابعة فيوناتشي.
  
• يطلق عليها أعداد فيبوناتشي وهي (0، 1) ويكون كل عدد فيها هو نتاج حاصل مجموع العددين السابقين له.  
  
• الأعداد التالية تابعة لمتتابعة فيوناتشي: (1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، 55).
  
• تنفرد هذه المتتالية بميزة خاصة وهي الرقم الذهبي لأنّ العلماء حاولو أن يحلوا شفرة هذه السلسلة الذهبية فقسموا الرقم على الرقم الذي يسبقه.
  
• أطلق العلماء اسم فاي على الرقم الذهبي ووجدوا أنّه من الإمكان تقريب فاي إلى 15 بعد محاولة التوصل إلى النسبة 40 بين رقم متتالي في متتالية فيبوناتشي.
  
• تتكون النسبة الذهبية من رقمين هما 1.618034و 0.618034 وكلا الرقمين هو المقلوب الحسابي للآخر.