ما هي النسبة الذهبية في الرياضيات

النسبة الذهبية: يشار إليها غالباً باسم المتوسط الذهبي أو القسم الذهبي، وهي سمة خاصة يشار إليها بالرمز اليوناني (φ)، وهي نسبة بين عددين تساوي تقريباً (1.618) ، يمكن دراسة العديد من التكوينات الخاصة باستخدام تسلسلات خاصة مثل تسلسل فيبوناتشي وسمات ترتبط بالنسبة الذهبية.

الصيغة العامة للنسبة الذهبية

تحدد المعادلة التالية العلاقة لحساب النسبة الذهبية:

a/b = (a + b)/a = ϕ

حيث: (a) و (b) هما كميتين.

(a): هي الكمية الأكبر بين الكميتين.

تحسب النسبة الذهبية بين كميتين إذا كانت نسبتهما تساوي نسبة مجموعهما إلى الكمية الأكبر بين الاثنتين (a) ، بالإشارة إلى هذا التعريف عند قسمة خط إلى جزأين، فستكون الأجزاء في النسبة الذهبية، أي أنها نسبة طول الجزء الأطول (a) إلى طول الجزء الأقصر (b) تساوي نسبة مجموعها (a + b) إلى الطول الأطول، يوضح الشكل التالي مفهوم النسبة الذهبية:

تطبيقات على النسبة الذهبية

النسبة الذهبية هي نسبة رياضية، بحيث توجد في الطبيعة، وعند استخدامها في التصميم، فإنها تعزز التراكيب ذات المظهر الطبيعي التي ترضي العين، هناك العديد من التطبيقات للنسبة الذهبية في مجال الهندسة المعمارية، بحيث تم بناء العديد من المنشآت المعمارية لتعكس النسبة الذهبية في هيكلها.

على سبيل المثال، يعد الهرم الأكبر في مصر من العجائب المعمارية التي تم فيها استخدام مفهوم النسبة الذهبية، وقد استخدم فنانون مثل ليوناردو دافنشي ورافائيل وساندرو بوتيتشيلي وجورج النسبة الذهبية كسمة في أعمالهم الفنية.

مثال: احسب قيمة النسبة الذهبية (φ) باستخدام المعادلات التربيعية.

• باستخدام الصيغة العامة للنسبة الذهبية.

ϕ = 1 + 1/ϕ

• بضرب كلا الطرفين في (φ).

ϕ² = ϕ + 1

• نقوم بنقل حدود المعادلة إلى طرف واحد، كما يلي:

ϕ² – ϕ -1 = 0

• المعادلة أعلاه هي معادلة تربيعية ويمكن حلها باستخدام الصيغة التربيعية:

ϕ = −b±√(b²−4ac)/2a

• استبدال قيم a = 1 ، b = -1 و c = -1 ، كما يلي:

ϕ = (1±√(1+4))/2

• يمكن تبسيط الحل ( القيمة الموجبة) ، كما يلي:

ϕ = 1/2 + √5/2

تستثنى القيمة السالبة، لأن (φ) هي نسبة الأطوال ولا يمكن أن تكون سالبة.