تعريف مبرهنة نويثر:
هناك خصائص عامة مهمة لأنظمة أويلر لاجرانج تعتمد على تناظر (La-Grangian)، وأهم نتيجة تناظر هي نظرية نويثر، والتي أثبت أنها كذلك (pw)، ثم نطبق النظرية في عدة حالات خاصة مهمة لإيجاد حفظ الزخم والطاقة والزخم الزاوي.
نظرية نويثر لمعادلة أويلر-لاغرانج تنص نظرية نويثر في جوهرها على أنه عندما يكون للفعل تناظر، يمكننا اشتقاق كمية محفوظة، كما أن النظرية تحتاج إلى تعريفات واضحة للتناظر والكمية المحفوظة.
نظريات نويثر:
تتعلق نظريات نويثر بشكل أساسي بالعلاقة بين الثوابت وقوانين الحفظ، الإعداد هو نظرية مجال لاغرانج والتي وفقًا لها تُشتق معادلات الحركة، عن طريق إجراء متغير من الإجراء المتكامل للنظرية، وعلى وجه الخصوص تهتم النظريات بالثوابت المختلفة لتكامل الفعل S = ∫ L dx، في ظل المجموعات المستمرة لتحولات الحقول.
كما أن رياضيات نظرية المقياس بتفسيرها الواسع تحدث في إطار أنظمة هاملتون مع قيود ومع ذلك، فإننا نبدأ عمومًا بإطار لاغرانج وتحول (Legendre) إلى إطار هاميلتوني: تتجلى بعض السمات الظاهرة في الأول كقيود في الأخير – قيود الطبقة الأولى هي المسؤولة عن مقياس الحرية.
الهدف الأساسي لنهج لاغرانج هو مساحة التكوين Q، والتي يتم فيها تحديد مجموعة من الإحداثيات qi تمثل الحالات الآنية لبعض الأنظمة، إذ يتم إعطاء الحركة في هذا الفضاء من خلال المسار (q (t في Q، حيث تشير t إلى الوقت وq إلى نقطة في Q)، مما يعطي التطور في زمن النظام، كما يتم إعطاء الديناميات من خلال إجراء وظيفي يعين رقمًا لكل مسار.
تقول النظرية الأولى أنه إذا كان الإجراء ثابتًا (أي يحتفظ بنفس الشكل) تحت تأثير مجموعة متغيرة (r (G <∞، فعندئذ تكون هناك تيارات محفوظة عند معادلات الحركة (أويلر المعادلات -Lagrange) راضية، عندما تكون المجموعة هي مجموعة الترجمات والدورات المكانية والزمانية، فإن النظام الموصوف بواسطة المعادلات سيُظهر الحفاظ على الزخم الخطي والطاقة والزخم الزاوي على التوالي، حيث قوانين الحفظ هذه مسؤولة في النهاية عن إمكانية التحول ( Leibniz).
تقول النظرية الثانية أنه إذا كان الإجراء ثابتًا تحت مجموعة أبعاد لا نهائية G∞r من التحولات (معطاة من وظائف r للمتغيرات) فستوجد هويات r (هويات Bianchi) بين المعادلات المشتقة من الإجراء، بحيث عندما تكون المجموعة هي مجموعة تحولات المقاييس الكهرومغناطيسية فإن هويات بيانكي هي ببساطة معادلات مجال ماكسويل.
يشير ظهور هويات بيانكي إلى نقص في التحديد في التطور الديناميكي للحقول: هناك متغيرات ديناميكية أكثر من معادلات الحركة (المستقلة)، لهذا السبب تم إدخال مقياس التماثل، بحيث يربط تحويل المقياس تلك الأجزاء للشكليات التي تمثل حالات لا يمكن تمييزها ماديًا، إذ يمكن رؤية هذا التناظر للقضاء على نقص التحديد المسؤول عن اللاحتمية في تطور مجالات (المقياس)، وهكذا فإن فكرة قياس الحرية تتجلى على مستوى الشكلية اللاغرانجية.
خرائط الزخم في نظرية نويثر:
في ميكانيكا هاملتون العادية رأينا أن نظرية نويثر لها تعبير بسيط على أنه “خط واحد” قائم على التماثل المضاد لقوس بواسون: أي في المعادلة، والذي كان لأي دوال عددية F ، H
(XF(H)={H,F}=0 iff 0={F,H}=XH(F))
بالكلمات: (Hamiltonian H) ثابت تحت التدفق الناجم عن (F )، (iff F ) ثابت للحركة تحت التدفق الديناميكي XH، وبتعبير أدق أن هذا الخط الواحد يعبر عن نظرية نويثر، وبالنسبة للخط الواحد الذي يحترم شرط أن يحافظ التناظر على الشكل العفوي (بالتساوي قوس بواسون)، وليس فقط (كما في الجانب الأيسر من المعادلة) وظيفة هاميلتون H؛ من خلال صيغة كارتان السحرية، كان الحقل المتجه الذي يحافظ على الشكل العفوي مكافئًا لكونه محليًا هاميلتوني.
بالنسبة لمشعبات (Poisson)، يفشل التكافؤ المقابل لهذا البيان الأخير، حيث لا يلزم أن يكون التشكل الذاتي لبواسون متناهي الصغر محليًا، ومع ذلك فإن معظم نهج “الخط الواحد” لنظرية نويثر ينتقل إلى إطار مشعبات بواسون في الواقع، كما أن الحالات التي توجد فيها حقول متجه هاميلتون يكون فيها كل (allM) هاميلتونيان عالميًا.
وبالتالي فمن الواضح أنه بالنسبة لمشعب( Poisson M )، تمامًا كما هو الحال بالنسبة للمشعبات العفوية: إذا كانت F ، H ∈ F (M) ، H ثابتة على طول منحنيات XF المتكاملة إذا كانت {H ، F} = 0 iff F هي ثابت على طول المنحنيات المتكاملة لـ XH.
يتبع ذلك على الفور أن H نفسها وأي وظيفة مميزة هي ثابت للحركة، إلى جانب ذلك يتم تحديد ثابت الحركة J (ξ) فقط حتى الاختيار التعسفي لوظيفة مميزة، وفي الواقع على الرغم من أنه قد وضع جانبًا الوظائف المعتمدة على الوقت، فهناك اختيار عشوائي لوظيفة مميزة تعتمد على الوقت.
