التفاضل: في الرياضيات، عملية إيجاد مشتقة، أو معدل التغير لإقتران المتعلق بأحد متغيراتها، يمكن تنفيذ التقنية العملية للمشتقة بالإعتماد على مفهوم النهايات للإقترانات، بحيث تندرج مشتقات الإقترانات المثلثية تحت موضوع الإشتقاق، وهو موضوع فرعي لحساب التفاضل والتكامل، وهي العملية الرياضية لإيجاد معدل تغيرها فيما يتعلق بمتغير.
ما هي مشتقة الاقترانات المثلثية
يوضح الشكل التالي الرسوم البياني الذي يوضح الشكل التقريبي لجيب التمام Sin x، عند دراسة الرسم البياني للمشتقة نستنتج أنها قريبة جداً من التمثيل البياني لإقتران جيب التمام.
الصيغ العامة لمشتقة الاقترانات المثلثية
- d/dx (sin x) = cos x
- d/dx (cos x) = − sin x
- d/dx (tan x) = sec²x
- d/dx (cot x) = −csc²x
- d/dx (sec x) = sec x tan x
- d/dx (csc x) = −csc x cot x
مثال (1): أوجد معادلة خط مستقيم مماس للتمثيل البياني لإقتران f(x) = cot x ، عند النقطة x = π/4.
الحل:
- لإيجاد معادلة خط المماس، نحتاج إلى نقطة وميل عند هذه النقطة، للعثور على النقطة، احسب:
f(π/4) = cot (π/4) =1
- إذاً فإن خط المماس يمر عبر النقطة (π/4, 1).
- أوجد الميل بإيجاد مشتقة f (x) = cot x، وتعويض قيمة المتغير عند (π/4).
f'(x)=−csc² x
and f'(π/4) =−csc² (π/4) =−2
- باستخدام معادلة النقطة والميل للخط المستقيم، نعوض قيمة ميل المماس (المشتقة)، والنقطة (x,y).
y−1 = −2 (x−π/4)
y = −2x + 1 + π/2
مثال (2): أوجد مشتقة f(x)=csc x + x tan x.
الحل: لإيجاد هذه المشتقة، علينا استخدام قاعدة المجموع وقاعدة حاصل الضرب، باستخدام قاعدة المجموع، نجد:
f'(x) = d/dx (csc x) + d/dx (x tan x)
- تكامل الحد الأول:
d/dx (csc x) =−csc x cot x
- بتطبيق قاعدة حاصل الضرب على الحد الثاني نحصل على ما يلي:
d/dx (x tan x) = (1) (tan x) + (sec² x) (x)
f'(x)=−csc x cot x + tan x + x sec² x
