نظريات الاضطرابات

ما هي نظريات الاضطرابات؟

تعتبر نظرية الاضطراب (PT) في الوقت الحاضر موضوعًا قياسيًا لدورات البكالوريوس في ميكانيكا الكم؛ ومع ذلك، فإن ظهوره مرتبط بالمشكلة الميكانيكية الكلاسيكية لحركة الكواكب، حيث أن كلمة “اضطراب” مشتقة من اللاتينية (turba، turbae) والتي تعني “اضطراب”.

يعكس الاسم جوهر النهج العام، أي إنشاء تقدير تقريبي أول من خلال مراعاة التأثير السائد (على سبيل المثال ، التفاعل بين الكوكب والشمس)، وتصحيح اضطراب صغير نسبيًا (على سبيل المثال، والتفاعل مع الكواكب الأخرى)، إذ يتم حساب التصحيح بترتيب على حدة، بشكل متكرر عادةً.

ترتبط صياغة PT الشائعة في عصرنا بـ (Rayleigh) و (Schrödinger) بينما تركز دراسات اللورد رايلي على النظرية الكلاسيكية للاهتزاز، فإن عمل شرودنغر يمثل بداية الاستخدام متعدد الاستخدامات لـ PT في نظرية الكم، وعند تطبيقها في سياق معادلة شرودنجر، تعتمد PT على تحديد تقريبي (ترتيب صفري) هاميلتوني، Ĥ (0) مما يسمح بحل معادلة شرودنجر، على عكس هاميلتوني الدقيق، Ĥ.

يتم التعبير عن الافتراض بأن Ĥ (0) يتضمن التأثيرات السائدة بالقول إن عامل الاضطراب (Vˆ=Hˆ−Hˆ₀)، صغير إلى حد ما، وPT المستقل عن الوقت والمعتمد على الوقت، هو تصنيف يستخدم غالبًا للتمييز بين الحالة التي يتم فيها البحث عن حلول ثابتة من الموقف الذي يعتمد فيه Vˆ بشكل صريح على الوقت.

إدخال معامل القياس في عامل الاضطراب (V=λˆWˆ)،عند الحل الدقيق، على سبيل المثال، تتم كتابة دالة الموجة كسلسلة طاقة Ψ=∑ ( λⁿΨⁿ)، كما أنه وللاشتقاق شروط ((PT Ψ (n)، عادة ما تتم عن طريق استبدال التوسع، ففي معادلة شرودنغر وتجميع الشروط من نفس الترتيب، يتم تقديم اشتقاق غير معتاد للتعبيرات المستقلة عن الوقت بواسطة (Davidson) وزملاؤه، الذين حصلوا على شروط الطاقة.

يعد التوسيع λ مناسبًا لمعالجة الاضطرابات التي تتباين ببطء في الفضاء، بينما يوفر توسيع وظيفة (blip) والطرق ذات الصلة وصفًا جيدًا للأنظمة المرجعية التي تتنوع فيها الإمكانات بسرعة ولكن محلية.

ما هو مائع لينارد:

يمكن الجمع بين الطريقتين في حالة حيث يكون لإمكانات الزوج جزء حاد ولكنه مستمر ومثير للاشمئزاز، وجذب ضعيف طويل المدى، المثال على ذلك هو مائع (Lennard-Jones)، وهو نظام تتوفر له بيانات كافية من عمليات المحاكاة الحاسوبية للسماح بإجراء اختبار كامل لمخططات الاضطراب المختلفة.

للوهلة الأولى، قد يبدو أن المضاعفات الناتجة عن ليونة النواة ستجعل من الصعب الحصول على نتائج مرضية من خلال نظرية الاضطراب أكثر من المواقف التي تتكون فيها الإمكانات من تفاعل المجال الصلب والذيل، وهذا ليس صحيحًا بالضرورة؛ لأن هناك الآن مرونة إضافية يوفرها الفصل التعسفي للإمكانات في جزء مرجعي.

إذ يمكن أن يؤدي الاختيار الحكيم للفصل إلى تعزيز معدل تقارب سلسلة الاضطرابات الناتجة بشكل كبير، وتم اقتراح عدد من عمليات الفصل لإمكانات لينارد جونز، وأشهرها الثلاثة في طريقة (McQuarrie و Katz)، ويتم اختيار المصطلح r ^{− 12} باعتباره إمكانات النظام المرجعي ويتم التعامل مع المصطلح r 6 على أنه اضطراب.

حيث بالنظر إلى مخطط يتم فيه حساب خصائص النظام المرجعي بدقة، تعمل الطريقة جيدًا عند درجات حرارة أعلى من T * ≈ 3 ومع ذلك، في درجات حرارة منخفضة، تكون النتائج أقل إرضاءً، وهذا أمر مفهوم، ونظرًا لأن إمكانات النظام المرجعي أكثر ليونة بكثير من الإمكانات الكاملة في المنطقة القريبة من الحد الأدنى في ((v (r).

في الفصل الذي يستخدمه (Barker) و (Henderson13)، ويتم تعريف النظام المرجعي بواسطة ذلك الجزء من الإمكانات الكاملة التي تكون موجبة (r <σ) ويتكون الاضطراب من الجزء السلبي (r> σ)، ثم ترتبط خصائص النظام المرجعي بخصائص المجالات الصلبة بقطر d المعطى، وعلى عكس حالة إمكانات r ^{− 12}، إذ ينتج عن معالجة النظام المرجعي نتائج دقيقة للغاية.

يتم التعامل مع التصحيحات الناتجة عن الاضطراب في إطار التوسع λ؛ يتم حساب المصطلح من الدرجة الأولى، مع اعتبار g₀ (r) دالة التوزيع الزوجي لسائل الكرة الصلبة المكافئ، عند (T * = 0.72 )و (ρ * = 0.85)، وهي قريبة من النقطة الثلاثية لسائل (Lennard-Jones)، تكون النتائج (βF0 / N = 3.37 )و (F1 / N = −7.79).

وبالتالي فإن مجموع المصطلحين الرئيسيين يساوي −4.42، في حين أن الناتج الناتج عن إجمالي الطاقة الحرة الزائدة من حسابات مونت كارلو هو (βF / N = −4.87 )وبالتالي، فإن مجموع جميع الشروط الأعلى مرتبة في التوسع far بعيد كل البعد عن الإهمال؛ وتظهر الحسابات التفصيلية أن المصطلح من الدرجة الثانية يمثل معظم الباقي. حيث يكمن أصل مصطلح الدرجة الثانية الكبيرة في الطريقة التي يتم بها فصل الإمكانات.

فإن تأثير قسمة ((v (r) عند r = σ هو أن يشمل الاضطراب الجزء المتغير بسرعة من الجهد بين r = σ والحد الأدنى عند ( r = rm ≈ 1.122σ)، ونظرًا لأن دالة توزيع الزوج لها قيمتها القصوى في نفس نطاق r ، فإن التقلبات في إجمالي طاقة الاضطراب (WN)، وبالتالي القيم العددية لـ F2، كبيرة.

نظرية الاضطراب الديناميكي:

يُعد عمل باركر وهيندرسون علامة فارقة في تطوير نظرية الحالة السائلة، حيث أثبت لأول مرة أن نظرية الاضطراب الديناميكي الحراري قادرة على تحقيق نتائج موثوقة من الناحية الكمية حتى بالنسبة للحالات القريبة من النقطة الثلاثية لنظام الاهتمام، حيث عيب طريقتهم هو حقيقة أن تنفيذها الناجح يتطلب تقييمًا دقيقًا لمصطلح الدرجة الثانية في التوسع λ.

يتطلب حساب F2 إجراء المزيد من التقديرات التقريبية، وعلى الرغم من أن بيانات المجال الصلب التي تسمح بمثل هذا الحساب متوفرة في شكل تحليلي، فإن النظرية حتمًا أكثر صعوبة في التعامل معها مما هو الحال عندما طلب العلاج مناسب ومع ذلك، فإن معادلة الحالة المحسوبة في توافق ممتاز مع نتائج عمليات المحاكاة.

يمكن التغلب على مشكلة المصطلح من الدرجة الثانية عن طريق قسمة الإمكانات على طريقة (Weeks)، و (Chandler) و (Andersen)، والتي تسمى عادةً فصل WCA، حيث في هذه الطريقة، يتم تقسيم الإمكانات عند r = rm إلى جزئين منفصلين تمامًا (r rm)؛ يحدد الأول النظام المرجعي ويشكل الأخير الاضطراب.

لتجنب الانقطاع عند (r = rm)، يتم تعيين w (r) مساويًا لـ r <rm و v₀ (r) يتم إزاحته لأعلى بمقدار تعويض، ومقارنةً بفصل باركر وهيندرسون، فإن الاضطراب يختلف الآن بشكل أبطأ على مدى r المطابق للذروة الأولى في g (r)، وبالتالي فإن سلسلة الاضطراب تتقارب بسرعة أكبر.

على سبيل المثال، عند (T * = 0.72 و ρ * = 0.85)، الطاقة الحرة للنظام المرجعي هي β F0) (/ N = 4.49 وتصحيح الدرجة الأولى في التوسع λ هو 9.33؛ مجموع المصطلحين هو 4.84، والذي يختلف بنسبة أقل من 1 ٪ عن نتيجة مونت كارلو للإمكانات الكاملة، وتم العثور على اتفاق من نفس الترتيب في جميع أنحاء المنطقة عالية الكثافة وقد تكون سلسلة الاضطرابات بثقة يتم اقتطاعها بعد مصطلح الدرجة الأولى.

وبذلك يتم تجنب الصعوبات المرتبطة بحساب المصطلحات ذات الرتبة الثانية والأعلى، في الكثافات العالية، من ناحية أخرى، قد يتوافق قطر الكرة الصلبة المحسوب لفصل WCA مع جزء التعبئة الموجود في المنطقة غير المستقرة بعد الانتقال بين السوائل، وهذا يحد من مدى قابلية تطبيق النظرية في درجات الحرارة فوق الحرجة.