اقرأ في هذا المقال
- أنواع الأرقام الثنائية ذات الإشارة في الاتصالات
- أساسيات الأرقام الثنائية ذات الإشارة
- كيفية تمثيل الأرقام الثنائية ذات الإشارة
- أساسيات تمثيل الأرقام الثنائية ذات الإشارة
بشكل عام يتم تمثيل الأرقام الموجبة التي لا تحمل إشارة بدون أي إشارة إشارة والأرقام السالبة مع علامة “ناقص” أي علامة سالبة قبلها، لكنّ هذه لا تنطبق على الحوسبة في الأنظمة الرقمية مثل أجهزة الكمبيوتر، حيث يتم تمثيل البيانات في نظام الأرقام الثنائية لذلك لتمثيل العلامة يلزم وجود تدوين خاص.
أنواع الأرقام الثنائية ذات الإشارة في الاتصالات
أولاً: أرقام ثنائية بإشارة موجبة
تسمى الأرقام الثنائية التي لها “MSB 0” أرقام ثنائية ذات إشارة موجبة.
- “MSB” هي اختصار لـ “Most significant bit”.
ثانياً: الأعداد الثنائية بإشارة سالبة
تسمى الأرقام الثنائية التي تحتوي على “MSB 1” بالأرقام الثنائية ذات الإشارات السالبة.
أساسيات الأرقام الثنائية ذات الإشارة
يمكن أن تحتوي الأرقام التي لا تحمل إشارة على نطاق واسع من التمثيل، ولكن في حالة الأرقام ذات الإشارة يمكن تمثيل مداها فقط من “- (2 (n-1) – 1)” إلى “+ (2 (n-1) – 1)”، حيث أنّ “n” هو عدد البتات بما في ذلك بت الإشارة، وعلى سبيل المثال بالنسبة لرقم ثنائي موقّع “5 بت” بما في ذلك “4 بتات حجم” و”1 بت” إشارة هو سيكون النطاق:
– (2 (5-1) – 1) إلى + (2 (5-1) – 1)
– (2 (4) – 1) إلى + (2 (4) – 1)
-15 إلى +15
كما تتراوح الأرقام الثنائية غير الموقعة من “8 بتات” من “0 إلى 255″، حيث سيكون للرقم الثنائي المكون من “8 بتات” الحد الأقصى والحد الأدنى للقيم كما هو موضح تالياً:
الحد الأقصى للرقم الموجب هو 0111 1111 +127
الحد الأقصى للرقم السالب هو 1000 0000-127
كيفية تمثيل الأرقام الثنائية ذات الإشارة
ونظراً لأنّه لا يمكن تقديم إشارات إيجابية أو سلبية للنظام الرقمي، فيجب تمثيلها ببعض الطرق الأخرى وهناك ثلاث طرق شائعة لتمثيل الأرقام السالبة داخل الكمبيوتر وهي:
- التمثيل السهل.
- التمثيل التكميلي.
أولاً: تمثيل الحجم الموقّع
تسمى الأرقام الثنائية التي يمكن تحديدها بواسطة البت الأكثر أهمية “MSB” سواء كانت موجبة أو سلبية “أرقام ثنائية موقعة”، ومثال: 1001 -> + 9 (موجب) أو 1001 -> – 1 (سلبي)، وهذه هي أبسط طريقة لتمثيل كل من الأرقام الموجبة والسالبة في النظام الثنائي وفي تمثيل الحجم للرقم الذي يحمل إشارة:
- يتم تمثيل الرقم الموجب بـ “0” في بت الأكثر أهمية “MSB”.
- يتم تمثيل الرقم السالب بـ “1” في بت الأكثر أهمية “MSB”.
ثانياً: مكمل واحد لرقم ثنائي مميز
مكمل “1” هو طريقة أخرى لتغذية الرقم الثنائي السالب للكمبيوتر، وفي الطريقة التكميلية للفرد لا تتغير الأرقام الثنائية الموجبة، ولكن يتم تمثيل الأرقام السالبة بأخذ مكمل 1 لرقم موجب غير موقع.
- يبدأ الرقم الموجب دائماً بالرقم “0”، وعند “MSB” الخاص به بينما يبدأ الرقم السالب دائماً بالرقم “1”، وعند “MSB”.
- كما يتم إنشاء إطراء الرقم 1 عن طريق استبدال جميع 0 بأرقام 1 وكل 1 بأصفار.
- على سبيل المثال إذا كان الرقم الثنائي هو “01101001”، فإنّ مكمله هو “10010110”.
ثانياً: مكمل 1 باستخدام العواكس
إنّ أبسط طريقة للعثور على مكمل 1 للعدد المطلوب للدائرة الإلكترونية الرقمية هو استخدام العاكسات وكما يوحي الاسم العاكس هو الجهاز أو الدائرة التي تولد مكملاً لمدخلاتها، أمّا المحولات متصلة بالتوازي للحصول على مكمل “1” من الرقم الثنائي للإدخال، وبغض النظر عمّا إذا كان الرقم الثنائي يحتوي على أي عدد من الأرقام فإنّه يمكن بسهولة العثور على مكمله، وفقط عن طريق كتابة جميع 0 على هيئة 1 أو 1 على شكل 0 سيعطي تمثيل بسيط 1 لرقم ثنائي.
العمليات الحسابية التي يتم إجراؤها على الأعداد الثنائية تسمى “الحساب الثنائي”، كما يمكن إضافة أو طرح أي رقم موجب أو سالب بعدة طرق مثل “A + B” و”A + (-B)” و”-B + A”.
ثالثاً: إضافة أرقام ثنائية ذات إشارة
تتبع الإضافة الثنائية أيضاً نفس قواعد الإضافة العادية، ولكن هنا الاستثناء الوحيد هو أنّ العملية الحسابية ستجرى بين رقمين فقط “0” و”1″ ودائماً 1> 0.
أساسيات تمثيل الأرقام الثنائية ذات الإشارة
في الرياضيات يتم تمثيل الأرقام الموجبة بما في ذلك الصفر كأرقام بدون إشارة، أي أنّه لا يتم وضع علامة “+ ve” أمامهم لإظهار أنها أرقام موجبة، ومع ذلك عند التعامل مع الأرقام السالبة فإنّه يتم استخدام علامة “-ve” أمام الرقم لإظهار أنّ الرقم سالب في القيمة، ويختلف عن القيمة الموجبة التي لا تحمل إشارة وينطبق الشيء نفسه على الأرقام الثنائية التي تحمل إشارة.
ومع ذلك في الدوائر الرقمية لا يوجد شرط لوضع علامة زائد أو حتى علامة ناقص إلى رقم ونظراً لأنّ الأنظمة الرقمية تعمل بأرقام ثنائية يتم تمثيلها من حيث “0’s” و “1’s”، وعند استخدامها معاً في الإلكترونيات الدقيقة فإنّ “1’s” و “0’s” تسمى بت وكونها تقلصاً لـ “Binary digit”، كما تقع في عدة أحجام نطاقات من الأرقام يشار إليها بأسماء شائعة مثل بايت أو كلمة.
ولقد ظهر أيضاً سابقاً أنّ الرقم الثنائي “8 بت” أي بايت يمكن أن يكون له قيمة تتراوح من “0” أي “000000002” إلى “255” أي “111111112”، أي أنّ لـ “²8 = 256” توليفة مختلفة من البتات تشكل بايت واحد “8 بت”، لذلك على سبيل المثال رقم ثنائي بدون إشارة مثل “010011012 = 64 + 8 + 4 + 1 = 7710” في النظام العشري، ولكن يجب أيضاً أن تكون الأنظمة الرقمية وأجهزة الكمبيوتر قادرة على استخدام ومعالجة الأرقام السالبة والأرقام الموجبة.
تتكون الأرقام الرياضية بشكل عام من علامة وقيمة أي مقدار، حيث تشير العلامة إلى ما إذا كان الرقم موجباً (+) أو سالباً (-) مع القيمة التي تشير إلى حجم الرقم، وعلى سبيل المثال “23” و”+ 156″ أو “-274″، وعرض الأرقام هو هذا الأسلوب يسمى تمثيل “حجم الإشارة”، حيث يمكن استخدام معظم الأرقام اليسرى للإشارة إلى العلامة والأرقام المتبقية مقدار أو قيمة الرقم.
وتدوين حجم الإشارة هو أبسط الطرق وأكثرها شيوعاً لتمثيل الأرقام الموجبة والسالبة على جانبي الصفر (0)، وبالتالي يتم الحصول على الأرقام السالبة ببساطة عن طريق تغيير علامة الرقم الموجب المقابل لأنّ كل رقم موجب أو غير إشارة سيكون له إشارة معاكسة، وعلى سبيل المثال “+2″ و”-2″ و”+10″ و”-10″.
ولكن يتم تمثيل الأعداد الثنائية بعلامة إذا كان كل ما هناك هو مجموعة من واحد وصفر، كما أنّ الأرقام الثنائية أو البتات لها قيمتان فقط إمّا “1” أو “0”، وبشكل ملائم بالنسبة للمستخدم تحتوي الإشارة أيضاً على قيمتين فقط وهما “+” أو “-“، كما يمكن استخدام بت واحد لتحديد علامة الرقم الثنائي الموقّع على أنّه قيمة موجبة أو سالبة، لذلك لتمثيل رقم ثنائي موجب (+ n) ورقم ثنائي سالب (-n) يمكن استخدامه مع إضافة علامة.
وبالنسبة للأرقام الثنائية الموقعة يتم استخدام البت الأكثر أهمية “MSB” كبتة تسجيل، وإذا كانت بت الإشارة “0” فهذا يعني أنّ الرقم موجب في القيمة، وإذا كانت بت الإشارة هي “1” فإنّ الرقم سالب في القيمة، كما تُستخدم البتات المتبقية في الرقم لتمثيل حجم الرقم الثنائي بطريقة تنسيق الأرقام الثنائية غير الموقعة المعتادة.
ثم يمكن أن يظهر ترميز “SM” يخزن قيماً موجبة وسالبة عن طريق تقسيم إجمالي البتات “n” إلى جزأين وهي “1 بت” للإشارة و”n 1 بت” للقيمة التي تمثل ثنائياً خالصاً كعدد، وعلى سبيل المثال يمكن التعبير عن الرقم العشري “53 كرقم ثنائي” موقع “8 بت”.
- “SM” هي اختصار لـ “Sign and Magnitude”.
