تحويل فورييه - Fourier Transform

في نظرية الاتصال تكون الإشارة عموماً عبارة عن جهد، وتحويل فورييه هو أداة رياضية أساسية توفر لنا نظرة داخلية للإشارة ومجالها المختلف وكيف تتصرف عندما تمر عبر قنوات الاتصال المختلفة والمرشحات ومكبرات الصوت وتساعد في تحليل مختلف.

ما هو تحويل فورييه – Fourier Transform؟

تحويل فورييه (Fourier Transform): هو أداة تقسم شكل الموجة أي وظيفة أو إشارة إلى تمثيل بديل ويتميز بالجيب وجيب التمام كما يوضح تحويل فورييه أنّه يمكن إعادة كتابة أي شكل موجة كمجموع وظائف جيبية.

العيب الرئيسي في سلسلة فورييه هو أنّها تنطبق فقط على الإشارات الدورية لكن هناك بعض الإشارات المنتجة بشكل طبيعي مثل غير الدورية والتي لا يمكننا تمثيلها باستخدام سلسلة فورييه، وبهدف التغلب على هذا القصور طوّر فورييه نموذجاً رياضياً لتحويل الإشارات بين المجال الزمني أو المكاني إلى مجال التردد والعكس بالعكس وهو ما يسمى تحويل فورييه، وتحويل فورييه له العديد من التطبيقات في الفيزياء والهندسة مثل تحليل أنظمة (LTI وRADAR) وعلم الفلك ومعالجة الإشارات وما إلى ذلك.

شروط وجود تحويل فورييه:

1. يمكن تمثيل أي دالة (f(t باستخدام تحويل فورييه فقط عندما تفي الوظيفة بشروط (Dirichlet) بمعنى آخر يكون للوظيفة (f(t لها عدد محدد من الحدود القصوى والدنيا.
   
2. يجب أن يكون هناك عدد محدود من الانقطاعات في الإشارة (f(t في الفترة الزمنية المحددة.
   
3. يجب أن يكون قابلاً للتكامل تماماً في فترة زمنية معينة.
   

في نظرية الاتصالات عادةً ما تكون الإشارة عبارة عن جهد وتعتبر نظرية فورييه ضرورية لفهم كيفية تصرف الإشارة عندما تمر عبر المرشحات والمضخمات وقنوات الاتصالات، حتى الاتصالات الرقمية المنفصلة التي تستخدم (0 أو 1) لإرسال المعلومات لا تزال تحتوي على محتويات تردد، وربما يكون هذا أسهل للفهم في حالة محاولة إرسال نبضة مربعة واحدة لأسفل قناة.

يمتد مجال الاتصالات إلى مجموعة من التطبيقات بدءاً من إدارة الشبكة عالية المستوى وصولاً إلى إرسال وحدات بت فردية عبر القناة لكن عادةً ما يرتبط تحويل فورييه بهذه الجوانب ذات المستوى المنخفض من الاتصالات.

خصائص تحويل فورييه:

تسهل خصائص تحويل فورييه التحول من المجال الزمني إلى مجال التردد والعكس بالعكس، ومن هذه الخصائص:

• الخطيّة.
  
• التحجيم.
  
•  التناظر.
  
• تغيير الملكية للإشارة.
  
• الازدواجية.
  
• التمايز.
  
• خاصية التعديل.
  
• الالتواء: يجعل تحويل فورييه التفاف إشارتين في منتج تحويلات فورييه، وهنالك اثنان أنواع خصائص الالتفاف:
  
  • التفاف الوقت.
    
  • التفاف التردد.
    

تطبيقات تحويل فورييه:

 طريقة (Fourier Transform) قابلة للتطبيق في العديد من مجالات العلوم والتكنولوجيا مثل:

 1. تقديم طلب إلى مشاكل القيمة الأولية – IBVP:

يتكون حل (IBVP) من معادلة تفاضلية جزئية جنباً إلى جنب مع الشروط الأولية والحدود، لكن تم حلها بطريقة تحويل فورييه وهنا نحل معادلة الحرارة بشكل تحليلي باستخدام شرط الحدود، وفي هذا حالة المعادلات التفاضلية الجزئية تقلص إلى معادلات تفاضلية عادية في تحويل فورييه الذي يتم حله.

2. تحليل الدائرة:

 هناك العديد من الدوائر الخطية المستخدمة في مجال الهندسة الإلكترونية وتشمل هذه الدوائر مكونات مختلفة؛ مثل: مكثف ومحث ومقاوم كما يمكن تصميم كل دائرة إلكترونية باستخدام المعادلات الرياضية.

3. تحليل الإشارة:

الإشارة هي الجزء المهم في أي دائرة إلكترونية لتصميم وتحليل الدوائر الإلكترونية المختلفة ومن الضروري أن تقوم بتحليل الإشارة ويترتب علينا إيجاد الحجم وطيف الطور لشكل الموجة.

 4. الهواتف المحمولة:

يتضمن الاتصال النقل التلقائي للبيانات عبر الأسلاك ودوائر الراديو من خلال الإشارات وتُعد الهواتف الخلوية من أبرز أجهزة الاتصال، والهاتف الخلوي تغيير طريقة تفاعل الناس وتواصلهم مع بعضهم البعض بشكل كبير حيث يتم استخدام مبدأ تحويل فورييه في الإشارة، مثل الصوت الناتج عن آلة موسيقية فعلى سبيل المثال: البيانو، كمان، طبلة وأي تسجيل صوتي يمكن تمثيله على أنّه مجموع مجموعة من الموجات الجيبية وجيب التمام بمختلف الترددات والسعات.

يمكن بعد ذلك معالجة هذه المجموعة من الموجات بسهولة نسبية، الهاتف المحمول لدينا أداء لتحويل فورييه حيث تم بناء كل جهاز محمول، مثل: النت بوك والجهاز اللوحي بدرجة عالية السرعة للاتصال الخلوي تماماً مثل تحويل فورييه يؤديها البشر بسهولة ميكانيكيا كل يوم؛ فعلى سبيل المثال عندما تكون في غرفة يوجد فيها قدر كبير من الضوضاء وتسمع اسمك بشكل انتقائي فوق الضوضاء، فأنت إذن أجريت للتو تحويل فورييه.

5. معالجة الصور:

يستخدم تحويل فورييه في مجموعة واسعة من التطبيقات مثل تحليل الصور وتصفية الصور وإعادة بناء الصورة وضغط الصور، ويُعد (Fourier Transform) أداة مهمة لمعالجة الصور تُستخدم لتحليل الصورة إلى جيبها و مكونات الجيب حيث يتم استخدام تحويل فورييه إذا أردنا الوصول إلى الخصائص الهندسية لصورة المجال المكاني.

لانّ الصورة تتحلل في مجال فورييه إلى مكوناتها الجيبية، فأصبح من السهل فحصها أو معالجة ترددات الصورة وبالتالي تؤثر على البنية الهندسية في المجال المكاني، في معظم عمليات التنفيذ يتم إزاحة صورة فورييه بطريقة تجعل قيمة متوسط ​​الصورة (DC) يساوي صفر ومعروض في وسط الصورة، وكلما كانت نقطة الصورة بعيدة عن المركز كلما كان المقابل لها أعلى تكرر.

 6. معالجة الإشارات ونظام LTI:

يستخدم تحويل فورييه على نطاق واسع في مجال معالجة الإشارات، وفي الواقع من المحتمل أن يكون تحويل فورييه أهم أداة لتحليل الإشارات في هذا المجال بأكمله، والإشارة هي أي شكل موجة أي لديها وظيفة زمنية حيث يمكن أن يكون هذا أي شيء في العالم الحقيقي كالموجة الكهرومغناطيسية والجهد عبر المقاوم مقابل الوقت وتباين ضغط الهواء بسبب كلامك أي موجة صوتية أو قيمة (Apple Stock) مقابل الوقت.

معالجة الإشارة: هي عملية معالجة إشارة للحصول على معلومات أكثر فائدة أو لجعل الإشارة أكثر فائدة، افترض أن لدينا صندوقاً يقبل إشارة إدخال وينتج إشارة خارجة منها حيث يمكن التفكير في مثل هذا الصندوق كنظام يأخذ إشارة داخلة وينتج ويخرج إشارة، وعندما ننظر إلى تحويل فورييه للمخرجات ونعرف كيف يتفاعل النظام مع كل شيء كاحتمال التردد ويعود سبب ذلك إلى الخطية في تحويل فورييه كما يمكن أن يكون الدافع في الوقت المناسب يعتقد أنه مجموع لا حصر له من الجيوب في كل تردد ممكن.

نتيجة الإخراج إذن هي مجموع ردود على كل تردد (Fourier Transform) تصور تأثير نظام (LTI) بسيط والتحليل أسهل بكثير كما يستخدم تحويل فورييه على نطاق واسع في نظرية نظام (LTI) والترشيح ومعالجة الإشارات، وإنّ غالبية التحليل في مجال التردد ممّا يجعل فهم نظرية فورييه أمراً لا غنى عنه.

النظم الثابتة للوقت الخطي – LTI:

هو نظام ينكون من خاصيتين مهمتين ومفيدتين للأنظمة، أولهما الخطي حيث يسمح لنا بمعرفة أنّ مجموع إشارات الإدخال ينتج إشارة خرج هي إشارات الخرج الأصلية المجمعة وأنّ إشارة الدخل المقاسة تنتج إشارة خرج مقيسة من إشارة الخرج الأصلية، والثاني ثبات الوقت حيث يضمن أنّ نوبات الوقت تنتقل مع تطبيق النظام وبعبارة أخرى فإنّ إشارة الخرج لمدخل مزاح للوقت هي نفسها إشارة الخرج لإشارة الإدخال الأصلية لكن باستثناء التحول في الوقت نفسه.

الأنظمة التي تُظهر كلاً من الخطية وثبات الوقت والتي تُعطى أنظمة (LTI) المختصرة سهلة الدراسة بشكل خاص لأنّ هذه الخصائص تسمح لنا بالاستفادة من بعض أقوى الأدوات في معالجة الإشارات.

جهاز فورييه لتحويل طيف الأشعة تحت الحمراء – FTIR:

يُعد مطياف فورييه لتحويل الأشعة تحت الحمراء (FTIR) بأنّه تقنية تحليلية تستخدم لتحديد المواد العضوية وفي بعض الحالات غير العضوية حيث تقيس هذه التقنية امتصاص الأشعة تحت الحمراء بواسطة مادة العينة مقابل الطول الموجي كما تحدد نطاقات امتصاص الأشعة تحت الحمراء المكونات والهياكل الجزيئية.

عندما يتم تشعيع مادة ما بالأشعة تحت الحمراء، فإنّ الأشعة تحت الحمراء الممتصة تثير الجزيئات في حالة اهتزازية أعلى ويكون الطول الموجي للضوء الذي يمتصه جزيء معين هو دالة لاختلاف الطاقة بين حالة السكون والحالة الاهتزازية المثارة أمّا الأطوال الموجية التي تمتصها العينة هي سمة من سمات تركيبتها الجزيئية.

يستخدم مطياف (FTIR) مقياس التداخل لتعديل الطول الموجي من مصدر الأشعة تحت الحمراء واسع النطاق كما يقيس الكاشف شدة الضوء المرسل أو المنعكس كدالة لطوله الموجي، والإشارة التي يتم الحصول عليها من الكاشف عبارة عن مخطط تداخل كما يجب تحليله باستخدام جهاز كمبيوتر باستخدام تحويلات فورييه للحصول على طيف الأشعة تحت الحمراء أحادي الحزمة ويتم تقديم أطياف (FTIR)، عادةً على شكل قطع من الشدة مقابل عدد الموجات (بالسنتيمتر السالب) أمّا العدد الموجي هو مقلوب الطول الموجي كما يمكن رسم الكثافة كنسبة مئوية من نفاذية الضوء أو الامتصاصية عند كل عدد موجي.

سلسلة فورييه الحديثة:

سلسلة فورييه الحديثة: هي سلسلة لا نهائية من الأرقام إمّا أنّ تذهب إلى لانهائي أو تتقارب إلى رقم، بنفس الطريقة التي تنتقل بها سلسلة لانهائية من التعبيرات إما متعددة الحدود أو مثلثي إلى اللانهاية أو تتقارب مع وظيفة أو شكل، وفي المقابل إذا حصلنا على شكل فيمكننا تقريب وظيفته عن طريق إنشاء سلسلة لا نهائية من موجات الجيب وجيب التمام المتغيرة، سلسلة فورييه هي ببساطة وظيفة موصوفة ومشتقة من خلال جمع حرفي للموجات والثوابت.