تعتمد نظرية أو طريقة تعديل أصغر مجموع للمربعات في أساسها على معادلات رياضية خطية فقط (المعادلات الخطية)، كانت معادلات الرصد من النوع الخطي (الدرجة الأولى وبدون أساس رياضي) وهذه هي الحالة العامة للشبكات الروبوتية وشبكات الجاذبية وحتى شبكات GPS.
التطبيقات المساحية:
في شبكات GPS تمثل الأرصاد اختلافات التنسيق بين طرفي كل خط قاعدة، بينما تمثل المجهولات إحداثيات طرفي خط القاعدة، مما يعني أن معادلات الرصد الثلاثة لكل خط أساسي هي:
هناك العديد من التطبيقات المساحية التي تكون فيها العلاقة الرياضية بين الأرصاد والعناصر غير المعروفة (التي يتعين حسابها) علاقة خطية من الدرجة الأولى، لتطبيق مجموع طريقة ضبط المربعات الصغرى يجب تحويل هذه العلاقة (معادلة الرصد) إلى نوع خطي وتسمى هذه العملية التحويل الخطي، يتم تنفيذ عملية التحويل الخطي من خلال تطبيق ما يسمى بمجموعة التوسيع لسلسلة تايلور على أي معادلة غير خطية F في غير معروف X، والتي يمكن تحويلها إلى معادلة خطية بواسطة:
أي أن الشكل الخطي للمعادلة (غير الخطية) يتكون من مجموع مجموعة من العناصر، حيث يكون العنصر الأول هو قيمة المعادلة نفسها للقيمة التقريبية للعنصر X0 والعنصر الثاني هو التفاضل الأول لـ المعادلة بالنسبة للعنصر المجهول X والعنصر الثالث هو نصف التفاضل الثاني للمعادلة.
حيث سيكون تطبيق نظرية تايلور معقده وسيتطلب العديد من الخطوات الحسابية، وبالتالي فإن عملية التحويل في الخطية في الضبط المساحي كافية لحساب أول عنصرين فقط من النظرية، نظرًا لإهمال باقي العناصر فإن قيمة المتجه المحددة للعناصر غير المعروفة ^ X ستكون غير دقيقة، لذلك سنستخدم هذا المتجه مرة أخرى كما لو كان متجهًا للقيم التقريبية X0 ثم كرر خطوات الضبط مرة أخرى (ولا سيما قيمة متجه الخطأ المتبقي (W).
(تستمر عملية التكرار هذه عدة مرات حتى يكون الاختلاف (في قيمة ^ X) بين تكرارين متتاليين صغيرًا جدًا، لذلك نأخذ قيمة المتجه الأخير ^ X لتكون النتيجة النهائية لقيم المجهول العناصر (لاحظ أننا لسنا بحاجة إلى العملية التكرارية لحل المعادلات الخطية).
طریقة أخري لتكوین نظام المعادلات الأصولیة:
يمكن تكوين نظام المعادلات الأساسية بطريقة أخرى دون الاعتماد على حساب القيم التقريبية للعناصر المجهولة على النحو التالي:
حيث:
تم استخدام متجه الأرصاد الأصلي (
) بدلاً من متجه الخطأ المتبقي (W و
)، حيث سيمثل المتجه أيضًا القيم الدقيقة للعناصر غير المعروفة مباشرةً (وليس الفرق بينها وبين تقريبها).
أما حل ھذه المعادلة فیكون:
