تعد الدائرة أحد أكثر الأشكال ظهوراً على سطح الأرض، بل في جميع الكون. فهي تظهر جلياً في صور الكواكب ومساراتها وفي بؤبؤ العين وفي الفاكهة وجذوع الأشجار وغير ذلك من المخلوقات. وقد استفاد الإنسان من الخصائص الفريدة لهذا الشكل المعقد في مجالات عدة، مثل: الهندسة والصناعة.
الزاوية المركزية والمحيطية في الدائرة
تسمى الزاوية التي يكون رأسها في مركز الدائرة، وضلعاها نصفي قطرين للدائرة زاوية مركزية. تسمى الزاوية التي يقع رأسها على الدائرة، ويكون ضلعاها وترين في الدائرة زاوية محيطية.
نظرية أ: قياس الزاوية المركزية يساوي مثلي قياس الزاوية المحيطية المرسومة على القوس نفسه. أي أن، إذا كانت زاوية مركزية، و
كانت زاوية محيطية فإن
.
مثال 1: إذا كانت النقطة O هي مركز الدائرة المرسوم فيها المثلث المتطابق الضلعين OPQ، وقياس إحدى زوايا المثلث وهي OPQ كالتالي: ، جد قياس الزاوية المركزية، وقياس الزاوية المحيطية؟ تذكر: زاويتا قاعدة المثلث متطابق الضلعين متساويتان في القياس.
الحل: في المثلث المتطابق الضلعين OPQ يكون ، إذن في المثلث ينتج أن :
، إذن،
وهي تمثل الزاوية المركزية في الدائرة، فإن قياس الزاوية المحيطية في الدائرة تساوي نصف قياس الزاوية المركزية أي أن قياس الزاوية المحيطية يساوي
.
نظرية ب: جميع الزوايا المحيطية المرسومة على قوس واحد في دائرة لها القياس نفسه. أي أن، .
نتائج النظريتين السابقتين:
- أولاً: قياس الزاوية المحيطية يساوي نصف قياس القوس المقابل لها.
- ثانياً: الزاوية المحيطية المرسومة في نصف دائرة قائمة.
- ثالثاً: الزوايا المحيطية التي تحصر أقواساً متساوية في القياس في الدائرة الواحدة أو عدة دوائر متساوية في القياس.
نظرية ج: إذا كان الشكل الرباعي دائرياً فإن كل زاويتين متقابلتين فيه متكاملتان، أي أن مجموع قياسهما يساوي ، عكس النظرية: إذا وجدت زاويتان متقابلتان متكاملتين في شكل رباعي كان هذا الشكل رباعي دائري. نتيجة: قياس الزاوية الخارجة عند أي رأس من رؤوس الشكل الرباعي الدائري يساوي قياس الزاوية الداخلة المقابلة للمجاورة لها.
حالات الشكل الرباعي: يكون الشكل الرباعي دائرياً في إحدى الحالات الآتية:
- إذا وجدت نقطة في المستوى داخله تبعد عن كل رأس من رؤوسه بمقدار ثابت أو إذا كانت رؤوسه الأربعة على بعد ثابت من نقطة ثابتة.
- إذا وجدت زاويتان مرسومتان على ضلع من أضلاعه كقاعدة ومتساويتان في القياس.
- إذا وجدت زاويتان متقابلتان فيه متكاملتان.
- إذا وجدت زاوية خارجة عند أي رأس من رؤوسه قياسها يساوي قياس الزاوية الداخلة المقابلة للمجاورة لها.
نظرية د: القطعتان المماستان المرسومتان من نقطة خارج الدائرة متساويتان في الطول. نتائج النظرية: إذا كان ()، (
) قطعتين مماستين للدائرة
فإن:
- (
) محور (
) (
ينصف
،
.
تعريف: الدائرة الداخلة للمثلث هي الدائرة التي تمس أضلاعه من الداخل ويكون مركزها نقطة تقاطع منصفات زوايا المثلث الداخلية.
نظرية: قياس الزاوية المماسية يساوي قياس الزاوية المحيطية المشتركة معها في نفس القوس. نتيجة: قياس الزاوية المماسية يساوي نصف قياس الزاوية المركزية المشتركة معها في نفس القوس.
