النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل: هي النظرية التي تربط مفهوم اشتقاق اقتران (حساب منحدراتها، أو معدل التغيير في كل مرة) بمفهوم تكامل اقتران (حساب المساحة تحت الرسم البياني الخاص بها )، وتبرر النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل الإجراء بحساب الفرق بين المشتق العكسي عند الحدين العلوي والسفلي لعملية التكامل.
خصائص النظرية الأساسية
تتعلق النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل بالمشتقات والتكاملات مع بعضها البعض، إذ تعتبر هذه العلاقات هي إنجازات نظرية مهمة وأدوات عملية لعمليات الحساب.
الجزء الأول من النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل
يطلق على الجزء الأول من نظرية التفاضل والتكامل أحيانًا اسم النظرية الأساسية الأولى في التفاضل والتكامل، وتنص النظرية على أن التكامل المحدد يمكن عكسه بالتفاضل، إذ إنه يؤكد أن أحد المشتقات العكسية (يمكن تسميته أيضًا التكامل غير المحدد) (F) للإقتران (f)، من هذا يمكننا القول أنه يمكن أن يكون هناك مشتقات عكسية للاقترانات المستمرة.
لنفترض أن (f) إقتران متصل في الفترة المغلقة [a,b] واجعل A (x) تمثل اقتران المساحة، فإن A ′ (x) = f (x) ، لكل x ∈ [a، b]
الجزء الثاني من النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل
تنص النظرية الأساسية الثانية في التفاضل والتكامل على أنه يمكننا حساب تكامل محدد لإقتران باستخدام أحد مشتقاتها، إذا كان الإقتران “f” متصل في الفترة المغلقة [a,b] ، وكانت (F) تكاملًا غير محدد للإقتران “f” في [a,b]، فإن العنصر الأساسي الثاني يتم تعريف نظرية التفاضل والتكامل على النحو التالي:
F(b)- F(a) = a∫b f(x) dx
اكتشاف التفاضل والتكامل
يعزى اكتشاف حساب التفاضل والتكامل إلى العالمين إسحاق نيوتن وجوتفريد لايبنيز، اللذان طورا أسسها بشكل مستقل، على الرغم من أن كلاهما كان له دور فعال في إنشائه، إلا أنهما فكرا في المفاهيم الأساسية بطرق مختلفة جدًا، إذ اعتبر نيوتن أن المتغيرات تتغير بمرور الوقت، بينما فكر لايبنيز في المتغيرات (x) و(y) على أنها تتراوح بين متواليات من القيم القريبة بلا حدود.
