تكامل الاقترانات المثلثية

يتضمن تكامل الإقترانات المثلثية تقنيات التبسيط الأساسية، التي تستخدم متطابقات مثلثية مختلفة يمكن كتابتها في شكل بديل أكثر قابلية للتكامل، يمكن إجراء التكامل من نوعين من التكاملات وهما التكاملات المحددة والتكاملات غير المحددة.

تكامل الاقترانات المثلثية

يتم إعطاء تكامل الإقتران f (x) بواسطة F (x) ويتم تمثيلها ب:

∫f(x)dx = F(x) + C

1. F (x): الإقتران الأصلي.
2. f (x): الإقتران الناتج عن التكامل.
3. dx: عامل التكامل.
4. C: يسمى ثابت التكامل أو الثابت التعسفي.
5. x: هو متغير التكامل.

الصيغ العامة لتكامل اقترانات النسب المثلثية

1. ∫sin x .dx = – cos x + C
2. ∫cos x .dx = sin x + C
3. ∫tan x dx = ln | sec x | + C
4. ∫sec x .dx = ln | tan x + sec x | + C
5. ∫cosec x .dx = ln| cosec x – cot x| + C = ln | tan(x/2) | + C
6. ∫cot x .dx = ln |sin x| + C
7. ∫sec²x .dx = tan x + C
8. ∫cosec²x .dx = -cot x + C
9. ∫sec x tan x .dx = sec x + C
10. ∫cosec x cot x .dx = -cosec x + C
11. ∫sin k x .dx = – (cos k x /k) + C
12. ∫cos k x .dx = (sin k x /k) + C

مثال: أوجد التكاملات التالية:

∫ 2cos²x .dx  .1

الحل: نستخدم معادلة النسب المثلثية التالية:

cos² x = ( 1 + cos (2x) )/2

∫2cos²x .dx = ∫ 1 + cos (2x) .dx

وفقاً لخصائص التكامل، فإن تكامل مجموع اقترانين يساوي مجموع تكاملات الإقترانات المعطاة، كما يلي:

∫ 1 + cos (2x) .dx = ∫ 1 .dx + ∫ cos (2x) .dx

= x + (sin (2x))/2 + c

∫ sin (4x) cos (3x) .dx .2

الحل: نستخدم معادلة النسب المثلثية التالية:

sin x cos y = (sin (x+y) + sin (x-y))/2

sin (4x) cos (3x) = (sin (7x) + sin (x))/2

وفقاً لخصائص التكامل، فإن تكامل مجموع اقترانين يساوي مجموع تكاملات الإقترانات المعطاة، كما يلي:

∫sin (4x) cos (3x) .dx = ½ ∫ (sin (7x) .dx + ½ ∫ sin (x) .dx

= -cos (7x) / 14 + -cos (x) /2 + c