حل معادلات ومتباينات القيمة المطلقة

اقرأ في هذا المقال

معادلات القيمة المطلقة
متباينات القيمة المطلقة

معادلة القيمة المطلقة: هي المعادلة التي تحتوي على قيمة مطلقة لمقدار جبري.

معادلات القيمة المطلقة

تذكر: القيمة المطلقة للمتغير $\large x$ يمكن إعادة تعريفها على صورة اقتران متشعب: $\large \left | x ight |=\begin{cases} -x & \text ,x< 0 \\ x & \text ,x\geq 0 \end{cases}$

كما يمكن استخدام الحقيقة السابقة في حل المعادلة $\large \left | x ight |=c$ حيث $\large c> 0$ ؛ إذ إنه يوجد للمتغير $\large x$ قيمتان محتملتان: قيمة موجبة وهي $\large c$ ، وقيمة سالبة وهي $\large -c$ ، فإذا كان $\large \left | x ight |=4$ ، فإن $\large x=4$ ، أو $\large x=-4$ ، ففي الحالتين $\large \left | x ight |=4$ ويمكن تعميم هذه القاعدة لحل أي معادلة تحتوي على قيمة مطلقة في أحد طرفيها.

مثال: حل المعادلة $\large \left | 4x-6 ight |=4$

الحل: يمكن حل معادلة القيمة المطلقة بتمثيل المعادلتين: $\large y=\left | 4x-6 ight |$ ، وَ $\large y=4$ بيانياً في المستوى الإحداثي نفسه، ومنه نلاحظ أن منحنيي المعادلتين يتقاطعان عندما $\large x=0.5$ وعندما $\large x=2.5$ ، وهما حلا المعادلة، ويمكن التحقق من ذلك جبرياً.

الحل الجبري: من المعادلة الأصلية $\large \left | 4x-6 ight |=4$

أولاً: إعادة تعريف القيمة المطلقة $\large 4x-6=4$ أو $\large 4x-6=-4$ ، ثانياً: بحل المعادلتين ينتج أن: $\large 4x-6=4\Rightarrow 4x=10\Rightarrow x=\frac{10}{4}\Rightarrow x=2.5$ $\large 4x-6=-4\Rightarrow 4x=2\Rightarrow x=\frac{2}{4}\Rightarrow x=0.5$ إذن، حلول هذه المعادلة: $\large x=0.5,x=2.5$

إذن، حل معادلات تحتوي قيمة مطلقة في أحد طرفي المعادلة، أما إذا كانت تحتوي قيمة مطلقة على طرفي المساواة مثل $\large \left | A ight |=\left | B ight |$ ، فإنه يوجد 4 حلول ممكنة لهذه المعادلة:

A=-B

A=B-

A=-B-

وبتطبيق خصائص المساواة، فإن المعادلتين (1) و (4) متكافئتين، وكذلك بالنسبة إلى المعادلتين (2) و (3)، ما يعني أن جميع الحلول يمكن إيجادها من المعادلتين (1) و (2).

مثال: حل المعادلة $\large \left | 2x+4 ight |=\left | 3x+1 ight |$

الحل: يمكن حل هذه المعادلة بتمثيل كل من $\large y=\left | 2x+4 ight |$ $\large y=\left | 3x+1 ight |$ في المستوى الإحداثي نفسه، ومنه نلاحظ أن منحنيي المعادلتين يتقاطعان عندما $\large x=3$ وعندما $\large x=-1$ ، ويمكن التحقق من ذلك جبرياً عن طريق حل المعادلتين الناتجتين عن الحالتين: $\large A=B$ و $\large A=-B$

الحالة الأولى: $\large A=B\Rightarrow 2x+4=3x+1$

$\large 2x=3x-3\Rightarrow -x=-3\Rightarrow x=3$

الحالة الثانية: $\large A=-B\Rightarrow 2x+4=-\left ( 3x+1 ight )\Rightarrow 2x+4=-3x-1$ $\large 2x=-3x-5\Rightarrow 5x=-5\Rightarrow x=-1$

إذن، لهذه المعادلة حلان، هما: $\large x=3,x=-1$ . ويمكن استخدام معادلات القيمة المطلقة في مواقف حياتية.

متباينات القيمة المطلقة

المتباينة جملة رياضية تحوي الرمز $\large \geq$ ، أو $\large \leq$ ، أو $\large <$ ، أو $\large >$ ، متباينة القيمة المطلقة: هي المتباينة التي تحتوي على قيمة مطلقة لمقدار جبري. ولحل متباينة قيمة مطلقة نستعمل المفاهيم الأساسية لحل معادلة القيمة المطلقة.

مثال: لحل المعادلة $\large \left | x ight |=4$ ، فإننا نبحث عن الأعداد جميعها التي تبعد عن الصفر بمقدار 4 ومنه، فإنه لحل المتباينة $\large \left | x ight |\leq 4$ فإننا نبحث عن الأعداد جميعها التي بعدها عن 0 أقل من 4 أو يساويها، ويمكن تمثيل مجموعة الحل باستخدام خط الأعداد. نلاحظ عند تمثيل مجموعة الحل باستخدام خط الأعداد أن مجموعة حل المتباينة $\large \left | x ight |\leq 4$ هي $\large x\geq -4$ و $\large x\leq 4$ ويمكن أيضاً التعبير عنها باستعمال المتباينة المركبة $\large -4\leq x\leq 4$ أو بالفترة $\large \left [ -4,4 ight ]$ .

قاعدة: متباينة القيمة المطلقة (أقل من)

إذا كان $\large X$ يمثل مقداراً جبرياً وكان $\large k$ عدداً حقيقياً موجباً، فإن: $\large \left | x ight |< k\Leftrightarrow -k< x< k$ والقاعدة صحيحة أيضاً إذا كانت إشارة المتباينة $\large \leq$

مثال: حل المتباينة التالية: $\large \left | 2x-3 ight |\leq 4$

الحل: أولاً: إعادة كتابة المتباينة $\large \left | 2x-3 ight |\leq 4\Rightarrow -4\leq 2x-3\leq 4$ ، ثانياً: بحل المتباينة $\large -4+3\leq 2x\leq 4+3\Rightarrow -1\leq 2x\leq 7$ $\large \frac{-1}{2}\leq x\leq \frac{7}{2}\Rightarrow -0.5\leq x\leq 3.5$ إذن، مجموعة الحل هي: $\large \left [ -0.5,3.5 ight ]$

لحل متباينة القيمة المطلقة (أكبر من) مثل المتباينة $\large \left | x ight |> 4$ فإننا نبحث عن الأعداد جميعها التي بعدها عن 0 أكبر من 4، وهي تمثل الأعداد الأقل من 4- أو الأعداد الأكبر من 4، ويمكن تمثيل مجموعة الحل على خط الأعداد. نلاحظ أنه يوجد مجموعتا حل منفصلتان، وعندها تكون مجموعة حل المتباينة $\large \left | x ight |> 4$ هي $\large x> 4$ أو $\large x< -4$ ويمكن أيضاً التعبير عنها باتحاد فترتين منفصلتين $\large \left ( -\infty ,-4 ight )\cup \left ( 4,\infty ight )$ .

قاعدة: متباينة القيمة المطلقة (أكبر من)

إذا كان $\large X$ يمثل مقداراً جبرياً وكان $\large k$ عدداً حقيقياً موجباً، فإن: $\large \left | X ight |> k\Leftrightarrow X< -k , X> k$ والقاعدة صحيحة أيضاً إذا كانت إشارة المتباينة $\large \geq$ .

مثال: حل المتباينة $\large \left | 3x+5 ight |> 7$

الحل: أولاً: إعادة كتابة المتباينة $\large \left | 3x+5 ight |> 7\Leftrightarrow 3x+5< -7 , 3x+5> 7$ ثانياً: بحل المتباينات $\large 3x< -12 \Rightarrow x=\frac{-12}{3}\Rightarrow x=-4$ $\large 3x> 2\Rightarrow x=\frac{2}{3}$ إذن، مجموعة حل المتباينة هي: $\large \left ( -\infty ,-4 ight )\cup \left ( \frac{2}{3},\infty ight )$

يمكن أن تحتوي المتباينة قيمة مطلقة في طرفيها، عندئذ يمكن حلها باتباع الخطوات التالية:

مساواة المقدارين داخل رمزي القيمة المطلقة ببعضهما، وحل المعادلة الناتجة.

مساواة أحد المقدارين داخل رمزي القيمة المطلقة بمعكوس المقدار الآخر، وحل المعادلة الناتجة.

اختيار عدد بين الحلين وتعويضه في المتباينة، فإذا كانت الجملة صحيحة تكون مجموعة حل المتباينة الأصلية هي مجموعة الأعداد الواقعة بين الحلين، وإلا كانت مجموعة الأعداد الواقعة خارج الحلين.

مثال: حل المتباينة $\large \left | 2x+1 ight |> \left | 3x-2 ight |$

الحل: الخطوة الأولى: مساواة المقدارين داخل رمزي القيمة المطلقة ببعضهما، وحل المعادلة الناتجة.

$\large 2x+1=3x-2\Rightarrow 2x-3x=-2-1$ $\large -x=-3\Rightarrow x=3$ الخطوة الثانية: مساواة أحد المقدارين داخل رمزي القيمة المطلقة بمعكوس المقدار الآخر، وحل المعادلة الناتجة.

$\large 2x+1=-(3x-2)\Rightarrow 2x+1=-3x+2\Rightarrow 2x+3x=-1+2$ $\large 5x=1\Rightarrow x=\frac{1}{5}$ الخطوة الثالثة: تحديد مجموعة الحل.

نختار عدداً بين الحلين وليكن $\large x=2$ ، ثم نعوضه في المتباينة $\large \left | 2x+1 ight |> \left | 3x-2 ight |$ كالتالي: $\large \left | 2(2)+1ight |> \left |3 (2)-2 ight |\Rightarrow \left | 5 ight |> \left | 4 ight |\Rightarrow 5> 4$ بما أن العدد $\large 2$ حقق المتباينة؛ فإن مجموعة حل المتباينة تقع بين العددين $\large \frac{1}{5}$ و $\large 3$

إذن، مجموعة حل المتباينة هي: $\large \left ( \frac{1}{5} ,3ight )$

حل معادلات ومتباينات القيمة المطلقة

معادلات القيمة المطلقة

متباينات القيمة المطلقة

مقالات مختارة

سمات الأجهزة التقويمية المستخدمة مع مصابي الشلل الدماغي

استعمال الحرارة المنخفضة في القضاء على الآفات الزراعية في المحاصيل الحقلية

ما هي الوحمة البيضاء

هل تعلم

كيفية تخطي حساب جوجل في هواتف شاومي ريدمي

نصائح لتأمين الوصول إلى الاجتماعات المسجلة وتنفيذ التشفير

طريقة اختيار الكاميرا المناسبة لاجتماعات زوم Zoom

أكثر المقالات مشاهدةً

ما هو الفعل المضارع معتل الاخر

الأسباب التي تجعل كمبروسر المكيف لا يفصل

كيف يمكنني تفعيل زر المتابعة على الفيس بوك؟