العلميات الحسابية على المتجهات

ماهي الكميات المتجهة؟

يعرف المتجة بأنه كمية لها المقدار والاتجاه ولكن ليس الموضع، ومن أمثلة هذه الكميات السرعة والتسارع، وفي شكلها الحديث، ظهرت النواقل في أواخر القرن التاسع عشر عندما طور جوشيا ويلارد جيبس ​​وأوليفر هيفيسايد (من الولايات المتحدة وبريطانيا، على التوالي) تحليلًا متجهًا بشكل مستقل للتعبير عن القوانين الجديدة للكهرومغناطيسية التي اكتشفها الفيزيائي الاسكتلندي جيمس كليرك ماكسويل، ومنذ ذلك الوقت، أصبحت النواقل ضرورية في الفيزياء والميكانيكا والهندسة الكهربائية والعلوم الأخرى لوصف القوى رياضيًا.

يمكن تصور المتجهات على أنها مقاطع خطية موجهة، حيث أن أطوالها هي مقاديرها؛ ونظرًا لأن حجم واتجاه مادة متجه فقط، يمكن استبدال أي مقطع موجه بواحد من نفس الطول والاتجاه ولكن يبدأ من نقطة أخرى، مثل أصل نظام الإحداثيات، ويُشار إلى المتجهات عادةً بحرف غامق، مثل v.
كما يُشار إلى حجم المتجه أو طوله بواسطة | v | أو v، والتي تمثل كمية أحادية البعد (مثل رقم عادي) تُعرف باسم العدد القياسي، بحيث يؤدي ضرب المتجه بواسطة عددي إلى تغيير طول المتجه وليس اتجاهه، باستثناء أن الضرب في رقم سالب سيعكس اتجاه سهم المتجه، وعلى سبيل المثال إذا ضرب المتجه في 1/2 سينتج عنه نصف متجه في نفس الاتجاه، بينما ضرب المتجه في −2 سينتج عنه ضعف طول المتجه لكنه يشير إلى الاتجاه المعاكس.

جمع المتجهات وطرحها:

يبدأ الجبر الخطي عادةً بدراسة المتجهات، والتي تُفهم على أنها كميات لها حجم واتجاه، حيث أن النواقل تصلح بسهولة للتطبيقات المادية، وعلى سبيل المثال، ناخذ في الاعتبار كائنًا صلبًا يكون حرًا في التحرك في أي اتجاه، وعندما تعمل قوتان في نفس الوقت على هذا الكائن، فإنهما ينتجان تأثيرًا مشتركًا مماثلًا لقوة واحدة، ولتصور هذا، نقوم بتمثيل القوتين v و w كسهمين؛ بحيث يعطي اتجاه كل سهم اتجاه القوة، ويعطي طوله مقدار القوة، والقوة المفردة الناتجة عن الجمع بين v و w تسمى مجموعهما، مكتوبًا v + w،حيث تقابل v + w قطري متوازي الأضلاع المكون من جوانب متجاورة ممثلة بـ v و w.

يتم التعبير عن المتجهات غالبًا باستخدام الإحداثيات، وعلى سبيل المثال في بعدين يمكن تعريف المتجه بزوج من الإحداثيات (a1 ، a2) يصف سهمًا ينتقل من الأصل (0 ، 0) إلى النقطة (a1 ، a2)، فإذا كان أحد المتجهين (a1، a2) والآخر هو (b1، b2)، يكون مجموعهما (a1 + b1، a2 + b2) هذا يعطي نفس نتيجة متوازي الأضلاع، وفي ثلاثة أبعاد، يتم التعبير عن المتجه باستخدام ثلاثة إحداثيات (a1 ، a2 ، a3)، وتمتد هذه الفكرة إلى أي عدد من الأبعاد.

يمثل تمثيل المتجهات على هيئة أسهم في بُعدين أو ثلاثة أبعاد نقطة انطلاق، ولكن تم تطبيق الجبر الخطي في سياقات حيث لم يعد هذا مناسبًا، وعلى سبيل المثال في بعض أنواع المعادلات التفاضلية، يعطي مجموع حلين حلاً ثالثًا، وأي مضاعف ثابت للحل هو أيضًا حل، وفي مثل هذه الحالات، يمكن التعامل مع الحلول كمتجهات، ومجموعة الحلول هي مساحة متجه بالمعنى التالي، بحيث في فضاء متجه، يمكن إضافة أي متجهين معًا لإعطاء متجه آخر، ويمكن ضرب المتجهات بأرقام لإعطاء متجهات “أقصر” أو “أطول”، وتسمى الأرقام القياسية؛ لأنها في الأمثلة المبكرة كانت أرقامًا عادية غيرت مقياس أو طول المتجه.

وعلى سبيل المثال، إذا كانت v متجهًا و 2 عدديًا، فإن 2v متجه في نفس اتجاه v ولكن طوله مرتين، وإذا كان هناك متجة v2 في نفس اتجاهه وقيمتة 3v مثلا فإن المتجهة الذي يعبر عن جمع المتجهين هو 3v+2v وفي نفس الاتجاة لكلا المتجهين، أما اذا كانا في اتجاهين متعاكسين فان المتجهة الذي يعبر عن ناتجهما هو 3v-2v، كما يكون اتجاهه باتجاه المتجهة الأكبر عدديا.
كما أن إحداثيات المتجه هي مقاسات، وعندما تكون هذه الحجميات هي من حقل عنصرين، كل إحداثي هو 0 أو 1، لذلك يمكن عرض كل متجه على أنه تسلسل معين من 0 و 1، وهذا مفيد جدًا في المعالجة الرقمية، حيث تُستخدم مثل هذه التسلسلات لتشفير البيانات ونقلها.

ضرب المتجهات:

هناك طريقتان مختلفتان لضرب متجهين معًا، حيث ينتج عن المنتج المتجه المضروب في متجه متجهًا آخر يُشار إليه بواسطة v × w، ويُعطى حجم الضرب التبادلي بواسطة | v × w | = vw sin θ، حيث θ هي الزاوية الأصغر بين المتجهات (مع وضع ذيولهما معًا)، ويكون اتجاه v × w عمودي على كل من v و w.
كما يمكن تصور اتجاهه بقاعدة اليد اليمنى، فكثيرًا ما يستخدم الناتج المتقاطع للحصول على (خط عمودي) على السطح عند نقطة ما، ويحدث في حساب عزم الدوران والقوة المغناطيسية على جسيم مشحون متحرك، ويكون تطبيق
قاعدة اليد اليمنى بوضع اتجاةه المتجة الأول باتجاه إبهام اليد واتجاة المتجهة الثاني موازي لاستقامة الأصابع الأربعة، كما يكون ناتج ضرب المتجهين هو متجة عمودي على باطن اليد في المستوى الثالث.

الطريقة الأخرى لضرب متجهين معًا تسمى حاصل الضرب النقطي، أو أحيانًا منتج عددي لأنه ينتج عنه عدد قياسي، ويُعطى حاصل الضرب القياسي بواسطة v ∙ w = vw cos θ، حيث θ هي الزاوية الأصغر بين المتجهين، ويُستخدم حاصل الضرب القياسي لإيجاد الزاوية بين متجهين، ويكون حاصل الضرب النقطي يساوي صفرًا عندما تكون المتجهات متعامدة، والتطبيق المادي النموذجي هو إيجاد الشغل W المنفذ بواسطة قوة ثابتة F تعمل على جسم متحرك d؛ العمل مُعطى بواسطة W = Fd cos θ.

المتجهات الذاتية:

عند دراسة التحويلات الخطية، من المفيد جدًا العثور على متجهات غير صفرية تم ترك اتجاهها دون تغيير بسبب التحويل، وتسمى هذه المتجهات الذاتية (المعروفة أيضًا باسم النواقل المميزة)، فإذا كانت v متجهًا ذاتيًا للتحول الخطي T، فإن T (v) = λv لبعض العددية λ، وهذا العدد يسمى القيمة الذاتية، قيمة eigenvalue ذات القيمة المطلقة الأكبر.
إلى جانب eigenvector المرتبط بها، إذ لها أهمية خاصة للعديد من التطبيقات المادية، وهذا لأن أي عملية يتم تمثيلها من خلال التحويل الخطي غالبًا ما تعمل بشكل متكرر، كما أن تغذية الناتج من التحول الأخير مرة أخرى إلى تحول آخر – مما يؤدي إلى تقارب كل متجه عشوائي (غير صفري) على المتجه الذاتي المرتبط بأكبر قيمة ذاتية، على الرغم من إعادة قياسها بواسطة قوة من قيمة eigenvalue، وبمعنى آخر، يتم تحديد سلوك النظام على المدى الطويل من خلال متجهاته الذاتية.