العلومالرياضيات

ما هي مقاييس التشتت

تمت تحريره بواسطة: - اخر تحديث : ٠٩:١٦:١٠ ، ١٢ مارس ٢٠٢٤ - مشاهدات : 0

اقرأ في هذا المقال

إذا كانت مجموعة البيانات متباعدة أو متباينة عن بعضها يقال أنها متشتتة، أما إذا كانت البيانات متجانسة وغير متباعدة فيقال أنها غير متشتتة. ملاحظة: ربما تكون المتوسطات (الوسط الحسابي) لأكثر من مجموعة، ولكن هذه المجموعات مختلفة كثيراً.

مقاييس التشتت

هي مجموعة من الأدوات الإحصائية التي تُستخدم لقياس مدى انتشار البيانات حول القيمة الوسطية. تُساعد هذه المقاييس في فهم كيفية توزيع البيانات ومدى تباعدها عن بعضها البعض.

  • المدى
  • التباين
  • الانحراف المعياري

أولاً: المدى

يستعمل المدى لقياس مقدار تشتت البيانات وتباعدها، وهو يساوي الفرق بين أكبر قيم البيانات وأصغرها. وتدل القيمة الكبيرة للمدى على أن البيانات متباعدة، أما القيمة الصغيرة فتدل على أن البيانات قريبة من بعضها البعض.

إذن، المدى = أكبر مشاهدة – أصغر مشاهدة

ثانياً: التباين

التباين هو الوسط الحسابي لمربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي، وقد وجد باستعمال الصيغة الآتية: \large \sigma ^{2}=\frac{\sum \left ( x-\bar{x} ight )^{2}}{n} حيث، \large \bar{x} : الوسط الحسابي ، \large n : عدد البيانات

رموز رياضية: يرمز إلى الانحراف المعياري بالرمز \large \sigma وهو حرف يوناني، ويقرأ سيجما.

الرمز \large \sum حرف يوناني يدل على المجموع، ويقرأ سيجما.

ثالثاً: الانحراف المعياري

الانحراف المعياري \large \sigma: هو عبارة عن الجذر التربيعي للتباين.

تذكر: مجموع انحرافات المشاهدات أو القيم عن وسطها الحسابي يساوي صفراً.

طريقة حساب مقاييس التشتت للمفردات 

مثال: جد المدى والتباين والانحراف المعياري لمجموعة البيانات الآتية: 4 ، 7 ، 1 ، 3 ، 0 ، 3

الحل: أولاً: المدى

المدى = أكبر مشاهدة – أصغر مشاهدة

= 7 – 0 = 7

ثانياً: التباين

الخطوة الأولى: نجد الوسط الحسابي

\large \bar{x}=\frac{\sum x}{n} =\frac{4+7+1+3+0+3}{6}=\frac{18}{6}=3

الخطوة الثانية: ننشئ جدولاً نحسب فيه انحراف كل قيمة عن الوسط الحسابي

\large \left ( x-\bar{x} ight )^{2}\large \left ( x-\bar{x} ight )\large x
11=4-34
164=7-37
42-=1-31
00=3-33
93-=0-30
00=3-33
30المجموع

الخطوة الثالثة: نعوض القيم التي توصلنا إليها من الجدول بصيغة التباين \large \sigma ^{2}=\frac{\sum \left ( x-\bar{x} ight )^{2}}{n}=\frac{30}{6}=5

ثالثاً: الانحراف المعياري: وهو الجذر التربيعي للتباين \large \sigma =\sqrt{\sigma ^{2}}=\sqrt{5}

طريقة حساب مقاييس التشتت للبيانات المنظمة في جداول تكرارية

  • لتقدير الوسط الحسابي للبيانات المنظمة في جداول تكرارية ذات فئات، نستعمل الصيغة الآتية: \large \bar{x}=\frac{\sum \left ( x\times f ight )}{\sum f} ، حيث \large x: مركز الفئة ، \large f: تكرار الفئة
  • يكون المدى للبيانات المنظمة في جداول تكرارية ذات فئات مساوياً لقيمة الحد الأعلى الفعلي للفئة العليا مطروحاً منها قيمة الحد الأدنى للفئة الدنيا.
  • لتقدير التباين للبيانات المنظمة في جداول تكرارية ذات فئات، نستعمل الصيغة الآتية: \large \sigma ^{2}=\frac{\sum \left (\left ( x-\bar{x} ight )^{2}\times f ight )}{\sum f}
  • لتقدير الانحراف المعياري، نجد الجذر التربيعي للتباين

مثال: يبين الجدول المجاور توزيعاً لخمسين طالباً يحفظون 5 أجزاء من القرآن الكريم بحسب أعمارهم لأقرب سنة.

عدد الحفاظفئات العمر
156-8
109-11
2512-14

المطلوب: تقدير المدى والتباين والانحراف المعياري لهذه البيانات.

الحل: أولاً : المدى

المدى = الحد الأعلى الفعلي للفئة العليا – الحد الأدنى الفعلي للفئة الدنيا

= 14.5 – 5.5 = 9

ثانياً: التباين

ننشئ جدولاً جديداً لحساب مركز الفئة وانحرافات القيم عن الوسط الحسابي لإيجاد قيمة التباين

\large \left ( x-\bar{x} ight )^{2}\times f\large \left ( x-\bar{x} ight )^{2}\large \left ( x-\bar{x} ight )\large x\times fمركز الفئة \large xالتكرار \large fفئات العمر
194.412.963.6-\large 7\times 15=1057156-8
3.60.360.6-\large 10\times 10=10010109-11
1445.762.4\large 13\times 25=325132512-14
34253050المجموع

نجد الوسط الحسابي: \large \bar{x}=\frac{\sum \left ( x\times f ight )}{\sum f}=\frac{530}{50}=10.6

نجد التباين من الصيغة الآتية: \large \sigma ^{2}=\frac{\sum \left (\left ( x-\bar{x} ight )^{2}\times f ight )}{\sum f}=\frac{342}{50}=6.84

ثالثاً: الانحراف المعياري

لتقدير الانحراف المعياري، نجد الجذر التربيعي للتباين:

\large \sigma =\sqrt{6.84}\approx 2.62

معلومة: من خصائص مقاييس التشتت أنها لا تتأثر بالجمع والطرح وتتأثر بالضرب والقسمة (الضرب والقسمة الموجب).

شارك المقالة:

وسوم: الإنحراف المعياريالتباينالتكرارالجدول التكراريالمدىماهي مقاييس التشتتمركز الفئةمقاييس التشتت

مقالات مختارة

هل تعلم

أكثر المقالات مشاهدةً