الرياضياتالعلوم

ما هي مقاييس النزعة المركزية

إن الطرق الإحصائية التي تقوم بحساب القيمة التي تتمركز حولها معظم المشاهدات تسمى مقاييس النزعة المركزية، وهي ثلاثة مقاييس، أولاً: الوسط الحسابي، ثانياً: الوسيط، ثالثاً: المنوال. وسنتعلم حساب كل منها إلى أنواع البيانات: غير المبوبة والمبوبة (الجداول التكرارية).

 

مقاييس النزعة المركزية

 

  • الوسط الحسابي.

 

  • الوسيط.

 

  • المنوال.

 

أولاً: الوسط الحسابي

 

الوسط الحسابي (المعدل) لمجموعة من القيم، يساوي ناتج جمع القيم مقسوماً على عددها.

الوسط الحسابي = (مجموع القيم)/(عددها) = \large \bar{X}

 

طرق حساب الوسط الحسابي:

 

  • في حالة البيانات غير المبوبة.

 

  • في حالة البيانات المبوبة (الجداول التكرارية).

 

أولاً: في حالة البيانات غير المبوبة، مثال: إذا كانت علامات مجموعة من طلاب الصف السابع في مادة الرياضيات هي: 18، 14، 11، 10، 12 ، جد الوسط الحسابي لعلامات الطلاب؟

الحل: أولاً: نجد مجموع القيم: \large 18+14+11+10+12=65

ثانياً: نقسم المجموع على عدد القيم: \large \frac{65}{5}=13

إذن، الوسط الحسابي=13

ثانياً: في حالة البيانات المبوبة (الجداول التكرارية)

مثال: يبين الجدول التالي أجور 40 عامل في أحد المصانع وكانت كالآتي:

الفئات 3 – 9 9 -15 15 -21 21 -27 27 -33 33 -39 المجموع
التكرار 10 12 8 6 3 1 40

الحل:

الفئات التكرار(K) مراكز الفئات (X) K \large \times X
3 -9 10 6 60
9 -15 12 12 144
15 -21 8 18 144
21 -27 6 24 144
27 -33 3 30 90
33 -39 1 36 36
المجموع 40 618

 

الوسط الحسابي \large \left (\bar{X} \right ) = \large \frac{\sum K\times X}{\sum K} = \large \frac{618}{40} = \large 15.45 ديناراً

من عيوب الوسط الحسابي أنه لا يمكن إيجاده بالرسم ويتأثر بالقيم الشاذة، أما مزاياه فمنها السهولة في الحساب ولذلك فهو أكثر المتوسطات استخداماً كما تدخل جميع قيم المجموعة في حسابه.

 

خصائص الوسط الحسابي

الخاصية الأولى: مجموع الانحرافات للقيم عن الوسط الحسابي يساوي صفر ( \large \sum \left ( X-\bar{X} \right )=0 ).

الخاصية الثانية: الوسط الحسابي يتأثر بالقيم المتطرفة.

الخاصية الثالثة: مجموع مربعات انحرافات القيم عن الوسط أقل من مجموع مربعات انحرافات القيم عن أي قيمة أخرى.

الخاصية الرابعة: الوسط الحسابي يتأثر بالعمليات الحسابية الأربعة.

 

ثانياً: الوسيط

 

الوسيط لمجموعة من القيم هو العدد الأوسط في البيانات المرتبة تصاعدياً أو تنازلياً عندما يكون عددها فردياً، أو هو الوسط الحسابي للعددين الأوسطين عندما يكون عدد البيانات زوجياً.

 

أولاً: حساب الوسيط في حالة البيانات غير المبوبة

مثال: نجد الوسيط لمجموعة القيم 30 ، 60 ، 20 ، 40 ، 70

الحل: أولاً: نرتب القيم ترتيب تصاعدي أو تنازلي كالتالي:

20 ، 30 ، 40 ، 60 ، 70  عدد القيم فردي نأخذ القيمة الواقعة في الوسط وهي : 40

مثال: نجد الوسيط للقيم 12 ، 4 ، 1 ، 6 ، 11 ، 8

نرتب القيم ترتيب تصاعدي أو تنازلي: 1 ، 4 ، 6 ، 8 ، 11 ، 12

نلاحظ هنا أن عدد القيم زوجي وبعد ترتبها تصاعدياً نأخذ القيمتان التي بالمنتصف وهما 6 ، 8 نجمعهما ونقسم الناتج على 2 أي \large \frac{6+8}{2}=\frac{14}{2}=7 .

ثانياً: في حالة البيانات المبوبة (جداول تكرارية).

مثال:

الفئات 3 -9 9 -15 15 -21 21 -27 27 -33 33 -39 المجموع
التكرار 10 12 8 6 3 1 40

 

الحل: نحتاج لتكوين جدول التكرار التراكمي الذي يضم عمودين، العمود الأول يضم الحدود الفعلية العليا والعمود الثاني التكرار التراكمي.

 

لإيجاد التكرار التراكمي نجمع التكرارات، حيث الحد الأعلى الفعلي للفئة الأولى يأخذ أول تكرار ونجمع التكرارات حتى يتم الوصول إلى آخر حد فعلي يأخذ عدد التكرارات جميعها

 

الحدود الفعلية العليا التكرار التراكمي
9.5 10
15.5 22
21.5 30
27.5 36
33.5 39
39.5 40

 

أولاً : نجد رتبة الوسيط وهو عبارة عن مجموع التكرارات مقسومة على 2 ، إذن \large \frac{40}{2} = \large 20

تكون رتبة الوسيط في الجدول التكرار التراكمي بين 10 وَ 22 أي:

9.5 10
س رتبة الوسيط=20
15.5 22

 

الآن نستخدم النسبة والتناسب لإيجاد قيمة الوسيط

 

\large \frac{x-9.5}{15.5-9.5}=\frac{20-10}{22-10}

\large \frac{x-9.5}{6}=\frac{10}{12}  

\large 12\times \left ( x-9.5 \right )=10\times 6

\large \left (x-9.5 \right )=\frac{60}{12}

\large x-9.5=5\Rightarrow x=14.5 إذن، قيمة الوسيط هي 14.5

من مزايا الوسيط أنه لا يتأثر بالقيم الشاذة، ويمكن الحصول عليه بالرسم، ومن عيوبه أنه لا يدخل في حسابه سوى قراءة واحدة أو قراءتين من المجموعة كلها.

 

ثالثاً: المنوال

 

المنوال هو القيمة الأكثر تكراراً في البيانات.

أولاً: حساب المنوال في حالة البيانات غير المبوبة

مثال: 6 ، 5 ، 5، 4، 7، 2، 5، 3، 8

الحل: نلاحظ هنا أن القيمة 5 تكررت ثلاث مرات هذا يعني أن قيمة المنوال هنا هي: 5

ثانياً: في حالة البيانات المبوبة (جداول تكرارية)

مثال:

الفئات 3 -9 9 -15 15 -21 21 -27 27 -33 33 -39 المجموع
التكرار 10 12 8 6 3 1 40

 

من الجدول نلاحظ أن الفئة التي تقابل أكثر تكرار هي الفئة (9 -15) هذا يعني أن المنوال يكون عبارة عن حاصل جمع الحدين مقسوما على 2

إذن، المنوال = \large \frac{9+15}{2} = \large \frac{24}{2} = \large 12

 

 

المصدر
كتاب "مبادىء علم الإحصاء" للمؤلف "وليد عبدالرحمن الفرا"كتاب "مبادىء الإحصاء" للمؤلف "الدكتور أحمد عبدالسميع طبيه"كتاب " الوافي للرياضيات" للمؤلف "أحمد حماد شعبان سعد"

مقالات ذات صلة

اترك تعليقاً

زر الذهاب إلى الأعلى