مجموع حدود المتتاليات العددية

كيف يتم إيجاد مجموع حدود المتواليات العددية؟

يتم الافتراض أن هناك متتالية عددية عدد حدودها (ن) حداً لإيجاد مجموع هذه الحدود والذي يُرمز له بالرمز (حـ) والحد الأخير بالرمز (ل) فإنه يمكن كتابة كم يلي:
حـ = ح₁ + ح ₂ + ح ₃ + ……
ح _ن-2 +ح _ن-1 + ح _ر
حـ = أ + (أ + ء) + (أ +2ء) …….
أو حـ = ل + (ل – ء) + (ل -2ء) + ………..
+ (أ + 2ء) + (أ + ء) + أ
وبجمع المعادلة الأولى والمعادلة الثانية يصبح:
2حـ = (أ + ل) + (أ + ل)(أ + ل) + (أ + ل)(أ + ل) + (أ + ل)(أ + ل) + (أ + ل)
… إلى (ق) من الحدود
إذاً حـ = ن (أ + ل)
إذاً [ حـ = ن ÷ 2 (أ + ل)]
وهذا يعني أن مجموع حدود متوالية عددية إلى (ن) من الحدود عبارة عن :

وتستخدم هذه الصيغة(2 / أ) إذا كان عدد الحدود (ن) معلوماً، وقيمة كل من الحد الأول (أ) والحد الأخير (ل)
لكن تم العلم مما سبق أن الحد الأخير (ل) هو الحد النوني (ح _ر)
ح _ن = أ + (ل – 1) ء
وبالتعويض عن (ل) في القانون السابق (2/ أ) ب ح _ن فإن:

وتستخدم العلاقة الأخيرة (2 / ب) لإيجاد مجموع متتالية عددية إذا كانت (ل) مجهولة، أي توجد المجموعة بدلالة كل من “أ، ء، ن”.

ما هو مجموع الخمسة عشر حداً الأولى من المتتالية 5،8،11،14،…..؟
إذاً ح ₁₅ = أ + 14 ء
حيث أ = 5 ، ء = 3 فإن:
ح ₁₅ = 5 + 14 × 3 = 47
إذاً حـ = (ن / 2) (أ + ل)
إذاً حـ = (15 / 2) (5 + 47)
= 780 / 2 = 390

الأهمية التطبيقية للمتتاليات العددية:

ظهر أهمية المتتاليات العددية من الناحية التطبيقية في بعض العمليات المحاسبة عند دراسة فؤائد المؤكدة المتساوية عند إيجاد جملة هذه الدفعات أو القيمة الحالية لنفس الدفعات بفائدة بسيطة حيث تكون فترات الإستثمار أو الخصم لهذا النوع من الدفعات الدورية متوالية عددية وكذلك استهلاك الأصول بطريقة القسط الثابت ومشاكل علمية أخرى.
مثال على ذلك:
يودع شخص 1000 دينار في بنك أول كل شهر من شهور السنة 2020، فإذا كان البنك يحسب على الإيداع فائدة بسيطة بمعدل 8 % سنوياً، ما جملة الفوائد المستحقة في المدة المذكوره؟
ونظراً لأن الفائدة عن أي مبلغ = المبلغ × نعدل الفائدة النوسي × مدة استثمار المبلغ بالسنوات.
إذاً فائدة المبلغ الأول = 1000 × 8 / 100 × 12/ 12 = 80 دينار.
فائدة المبلغ الثاني = 1000 × 8 / 100 × 12/ 11 = 73,333.
فائدة المبلغ الثالث = 1000 × 8 / 100 × 12/ 10 = 66,667.
أن فائدة المبلغ الأخير 1000 × 8 / 100 × 12/ 1 = 6,778
مجموع الفوائد المستحقة = 520 دينار
لكن بدلاً من استخدام الأسلوب المطول السابق، فإنه لو تم النظر إلى مدة الاستثمار للمبلغ المتتالية بالشهور (12 ، 11، 10 ،….) فإنها تكون متتالية عددية حدها الأول (أ) = 12، وحدها الأخير (ل) = 1، وعدد حدودها 12 حدآ.
إذاً حـ = (ن/2) (أ + ل) بتعويض عن مدة الإستثمار وفقاً لهذا الأسلوب فإن:
حـ للمدد = (12 / 2) (12 + 1)
إذاً مجموع الفوائد المستحقة عن السنة
= 1000 × (8 / 100) × (12 / 2) (12 + 1 / 12 ) = 520 دينار.