المؤثر الهرميتي في فيزياء الكم

إن المؤثر عبارة عن قاعدة رياضية تحول دالة ما إلى دالة أخرى، فمثلا المؤثر التفاضلي (d/dx) يحول الدالة (x)f إلى دالة أخرى f'(x) والتكامل والجذر التربيعي والأعداد المضروبة بعدد تدل على عمليات تأثير رياضي، فالمؤثر رمز رياضي يجبرنا بأن نقوم بعمل ما مع كل ما يتلو أو يعقب ذلك الرمز d/dx f (x) = f'(x)، ونقول بأن المؤثر الهرميتي هو نفسه مؤثر القياس في ميكانيكا الكم.

المؤثر الهرميتي في فيزياء الكم

يتم إعادة فحص المخططات الهرمية لتأثير هول الكمي الكسري، ويظهر أن المخططات المختلفة تعطي جميعها نفس شبكة الإثارة التي يتم تحديد إحصائها وفقًا لمعيار المتجه المقابل، وبالتالي لها نظريات (Ginzburg-Landau) المكافئة، وتنطبق أفكار مماثلة على سائل أيون، حيث يمكن تعميم المخططات باستخدام شبكات مختلفة، ويمكن الحصول على العديد من الحالات غير المتكافئة في أي عامل أو قيمة معلمة الإحصاء.

تطبيقات المؤثر الهيرميتي في فيزياء الكم

ازدواجية المساواة

للمؤثر الهيرميتي قدرة رائعة على ربط عوالم مختلفة، والرمز الأكثر إغفالًا في أي معادلة هو علامة المساواة المتواضعة، حيث تتدفق الأفكار من خلاله، وتشير الخطوط المزدوجة إلى أن الأفكار يمكن أن تتدفق في كلا الاتجاهين، وكان ألبرت أينشتاين سيدًا مطلقًا في إيجاد المعادلات التي تمثل هذه الخاصية، مثلا E = mc ²، بلا شك أشهر معادلة في التاريخ. في كل الأناقة المتقنة، يربط بين المفاهيم الفيزيائية للكتلة والطاقة التي كان يُنظر إليها على أنها متميزة تمامًا قبل ظهور النسبية.

من خلال معادلة أينشتاين نتعلم أن الكتلة يمكن أن تتحول إلى طاقة، والعكس صحيح معادلة نظرية النسبية العامة لأينشتاين، على الرغم من أنها أقل جاذبية ومعروفة، تربط بين عوالم الهندسة والمادة بطريقة مدهشة وجميلة بنفس القدر، الطريقة الموجزة لتلخيص هذه النظرية هي أن الكتلة تخبر الفضاء كيف ينحني، وأن الفضاء يخبر الكتلة كيف تتحرك.

المثال الأول والأكثر شهرة لمثل هذا التكافؤ هو ازدواجية موجة الجسيمات المعروفة التي تنص على أنه يمكن اعتبار كل جسيم كمي، مثل الإلكترون، كجسيم وكموجة؛ إن كلا وجهتي النظر لها مزاياها، حيث تقدم وجهات نظر مختلفة حول نفس الظاهرة الفيزيائية، ويتم تحديد وجهة النظر “الصحيحة” جسيم أو موجة فقط من خلال طبيعة السؤال وليس طبيعة الإلكترون.

أهمية المؤثر الهيرميتي في فيزياء الكم

هناك مثال صارخ على سحر نظرية الكم تبين أهمية المؤثر الهيرميتي؛ وهو تناظر المرآة يعرف بتكافؤ مذهل حقًا للمساحات التي أحدثت ثورة في الهندسة؛ تبدأ القصة في الهندسة التعدادية، التي تعد فرع راسخ، لكنه ليس مثيرًا للغاية من الهندسة الجبرية التي تحسب الأشياء. على سبيل المثال قد يرغب الباحثون في حساب عدد المنحنيات على فضاءات كالابي ياو حلول سداسية الأبعاد لمعادلات الجاذبية لأينشتاين والتي لها أهمية خاصة في نظرية الأوتار، حيث يتم استخدامها لتجعيد أبعاد الفضاء الإضافية.

عند لف شريط مطاطي حول أسطوانة عدة مرات، يتم تصنيف المنحنيات الموجودة على مساحة (Calabi-Yau) بواسطة عدد صحيح يسمى الدرجة، والتي تقيس عدد مرات الالتفاف حولها، يعد العثور على أرقام منحنيات درجة معينة مشكلة صعبة مشهورة، حتى بالنسبة لأبسط فضاء (Calabi-Yau)، ما يسمى (quintic)، تشير النتيجة الكلاسيكية من القرن التاسع عشر إلى أن عدد الخطوط (منحنيات الدرجة الأولى) هو 2875.

تم حساب عدد منحنيات الدرجة الثانية، وتبين أنها أكبر بكثير، لكن عدد المنحنيات من الدرجة الثالثة يتطلب مساعدة منظري الأوتار، حيث طلبت مجموعة من منظري الأوتار من أجهزة قياس الأرض حساب هذا الرقم، فابتكرت المقاييس الجغرافية برنامجًا حاسوبيًا معقدًا وعادت بإجابة، لكن منظري الأوتار يشتبهون في أنها كانت خاطئة، مما يشير إلى وجود خطأ في الكود.

 منظرو الأوتار يعملون بالفعل على ترجمة هذه المشكلة الهندسية إلى مشكلة فيزيائية، وبذلك فقد طوروا طريقة لحساب عدد المنحنيات من أي درجة دفعة واحدة، حيث تم تطبيق مبدأ مجموع التواريخ، ويمكن التفكير في أن السلسلة تستكشف جميع المنحنيات الممكنة لكل درجة ممكنة في نفس الوقت، وبالتالي فهي “آلة حاسبة كمومية” فائقة الكفاءة، لكن المكون الثاني كان ضروريًا لإيجاد الحل الفعلي صيغة مكافئة للفيزياء باستخدام ما يسمى بـ “مرآة” مساحة كالابي – ياو.

أنواع المؤثر الهيرميتي في فيزياء الكم

لا يزال البحث في أسس الكم معنيًا باشتقاق نظرية الكم من هذه المبادئ، وهو مشروع مدفوع جزئيًا بظهور نظرية المعلومات الكمومية، ولا يبدو أن هذا يمثل مصدر قلق كبير خارج الفيزياء، حيث يكون استخدام نماذج الكم مدفوعًا بشكل أساسي بقدراتها في التنبؤ، وهو بالطبع اعتبار مهم في الفيزياء أيضًا.

ومع ذلك قد يكون من المفيد النظر في الأسباب الأعمق للاستخدام المحتمل لنماذج الكم في هذه المجالات، أو من حيث العنوان الحقيقي الذي يؤدي إلى ظهور القياس في الرياضيات الذي هو المؤثر الهيرميتي من طرازات الكم هناك، وقد يساعد المنظور الأساسي للمؤثر الهيرميتي التي تتجاوز الفيزياء على القيام بذلك، وربما تصور نماذج جديدة بعد الكميات هناك أو حتى في الفيزياء.

ومثال على هذه النماذج، النماذج الاحتمالية المفردة، نماذج (SP) الذي يعتمد بعضها على الوقت، نماذج (TDSP)، والنظر في آثارها على المؤثر الهيرميتي في العلم وفهمنا للطبيعة من خلال الواقع الرياضي للنماذج الكمومية.

المؤثر الهيرميتي في معادلة شرودنغر

الدافع للمعادلة التي تحكم تطور الدالة الموجية للجسيم، هي معادلة شرودينغر الشهيرة، ان يتم الإشارة إلى الحالة المتطورة في الوقت t بواسطة ψ (x ، t)، مع التدوين ψ (t) (x) ≡ ψ (س ، ر)، ويجب أن تفي المعادلة ببعض الخصائص الجسدية المعقولة.

• السببية: يجب أن تحدد الحالة ψ (t0) في الوقت t = t0 الحالة ψ (t) لجميع الأوقات اللاحقة t> t0.

• مبدأ التراكب: إذا كانت (t) و (t) تطورات للحالات، إذن يجب أن تصف αψ (t) + βφ (t) (α ، β) أيضًا تطور الحالة.

• مبدأ المراسلة: في “مواقف الحياة اليومية” ، ميكانيكا الكم يجب أن تكون قريبة من الميكانيكا الكلاسيكية المعتادة، الشرط الأول يعني أن ψ يجب أن تحقق معادلة الترتيب الأول في الوقت المناسب، وهي:

 A ψ =  d/dt ψ

 الشرط الثاني يعني أنه يجب أن يكون A عامل تشغيل خطي، ويستخدم المطلب الثالث مبدأ المراسلات بالترتيب للعثور على الشكل الصحيح لـ A، هنا يسترشد بالقياس مع الانتقال من البصريات الموجية إلى البصريات الهندسية، وهذا هو المؤثر الهيرميتي لمعادلة شرودنغر، التي تعني استخدام الصيغة الرياضية في فهم معادلة شرودنغر.